Enunciado

A água em uma piscina acima do solo a 20 ° C , com 10   m de diâmetro e 2   m de altura deve ser esvaziada destampando um tubo plástico horizontal com 3   c m de diâmetro e 25   m   de comprimento anexado à parte inferior da piscina. Determine taxa inicial de descarga da água através do tubo e o tempo necessário para esvaziar a piscina completamente, considerando que a entrada do tubo seja bem arredondada, com perda desprezível. Tome o fator de atrito do tubo como 0,022 . Usando a velocidade de descarga inicial, verifique se esse é um valor razoável para o fator de atrito.

Passo 1

Bom, gente, aqui nesse problema nós temos uma piscina e um tubo conectados, assim devemos encontrar a taxa inicial de descarga da água através do tubo e o tempo necessário para esvaziar a piscina completamente.

Fiquemos atentos a temperatura dada, para ela temos: ρ = 998 k g m 3 , μ = 1,002 × 10 - 3 , a rugosidade na tubulação ε = 0 e o fator de atrito é f = 0,022 .

O efeito do fator de correção da energia cinética não faz muita diferença, então α = 1 .

Passo 2

Desprezando as perdas menores, podemos utilizar a equação de energia (que é a de Bernoulli, com alguns acréscimos). Assim, estabelecendo os pontos de análise 1 e 2 , temos:

Pelo diagrama, os pontos 1 e 2 são expostos a atmosfera, ou seja, P 1 = P 2 = P a t m . Além disso, o nosso ponto de referência é em z 2 = 0 e a velocidade no ponto 1 é desprezível, ou seja, V 1 ≅ 0 . Por ultimo, não temos bomba nem turbina, então h b o m b a = 0 e h t u r b i n a = 0 . Assim, temos:

P 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 + h b o m b a = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 + h t u r b i n a + h L

z 1 = α 2 V 2 2 2 g + h L

Como h L = f L D V 2 2 g , então:

z 1 = α 2 V 2 2 2 g + f L D V 2 2 2 g

Isolamos a velocidade de saída:

V 2 2 = 2 g z 1 α 2 + f L D

V 2 = 2 g z 1 α 2 + f L D

Calculando, temos:

V 2 = 2 × 9,81 × 2 1 + 0,022 × 25 0,03 = 1,425   m / s

Assim, podemos calcular a vazão de descarga:

v d ˙ = V 2 A 2           ∴         v d ˙ = 1,425 × π 0,03 2 4 = 1,01 × 10 - 3 m 3 s =   1,01   L / s  

Passo 3

Para acharmos o tempo que a piscina esvazia completamente, podemos expressar a quantidade de água saindo durante um instante de tempo através da derivação:

d v ˙ = v ˙ d t

Sendo que v d ˙ = π D 2 4 2 g z 1 1 + f L D , logo

d v ˙ = π D 2 4 2 g z 1 1 + f L D d t

A massa que sai é igual a que está dentro do tanque, pelo fato de esvaziar, ocorre uma diminuição de nível:

d v ˙ = - A d z = - π D 0 2 4 d z

Igualando as expressões e substituindo as variáveis, temos:

π D 2 4 2 g z 1 1 + f L D d t = - π D 0 2 4 d z

Isolando d t :

d t = - D 0 2 D 2 1 + f L D 2 g z - 1 2   d z

Passo 4

Vamos resolver nossa integral. Para isso, vale lembrar que o intervalo de tempo é t < t < 0 e a altura 0 < z < z 1 , logo:

∫ 0 t d t = - D 0 2 D 2 1 + f L D 2 g ∫ z 1 0 z - 1 2   d z

t = 2 D 0 2 D 2 1 + f L D 2 g z 1 1 2

t = D 0 2 D 2 2 z 1 ( 1 + f L D ) g

Substituindo os dados, temos:

t = 10 2 0,03 2 2 × 2 ( 1 + 0,022 × 25 0,03 ) 9,81 = 311696,3 s = 86,6   h

Prontinho!!

Resposta

v d ˙ =   1,01   L / s e t = 86,6   h

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