Enunciado

Uma análise termodinâmica de uma turbina a gás com ciclo Brayton fornece P = 5   M W como produção de potência líquida. O compressor, a uma temperatura média de T f = 400 ° C , é impulsionado pela turbina a uma temperatura média de T q = 1000 ° C , por intermédio de um eixo com L = 1   m de comprimento e d = 70   m m de diâmetro, com condutividade térmica k = 40 W /   ( m   .   K ) .

  1. Compare a taxa por condução em regime estacionário através do eixo que conecta a turbina quente ao compressor aquecido com a potência líquida prevista pela análise baseada na termodinâmica.
  2. Uma equipe de pesquisa propõe uma redução de escala da turbina a gás da parte (a), mantendo todas as dimensões nas mesmas proporções. A equipe supõe que as mesmas temperaturas quente e fria do item (a) se mantêm e que a potência líquida produzida pela turbina a gás é proporcional ao volume global do modelo. Represente graficamente a razão entre a condução através do eixo e a potência líquida produzida pela turbina na faixa 0,005   m   ≤   L   ≤   1   m . O modelo em escala reduzida com L =   - 0,005   m é factível?

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse carinha aí? Partiu!

Bem, Temos duas letrinhas para resolver… Mas antes vamos começar anotando todos os nossos dados pra gente não se perder, beleza?

P = 5   M W T f = 400 ° C T q = 1000 ° C

L = 1   m d = 70   m m k = 40 W /   ( m   .   K )

Agora sim vamos começar a resolver!

Passo 2

Começando pela letra a, precisamos calcular a taxa de transferência de calor, para comparar ela com a potência… Vamos lá então!

q x = A   .   q x "

Opa! Precisamos da área e do fluxo térmico! Podemos achar eles, assim olha só:

A = π d 2 4 q x "   =   k   .   T q - T f L

Vamos substituir cada um, para resolver uma equação só, beleza?

q x = π d 2 4   .   k   .   T q - T f L

q x = π   .   ( 0,070 ) 2 4   .   40   .   1000 - 400 1

q x = 0,00385   .   24000

q x = 92,4   W

Show! Agora vamos comparar fazendo a razão entre a taxa de transferência de calor e a potência líquida, beleza?

r = q x P

r = 92,4 5   .   10 6

r = 18,48   .   10 - 6

Show de bola! Vimos a relação entre as duas, agora vamos partir pra letra b.

Passo 3

Opa! Essa letra b, parece complexa, mas relaxa que não vai dar conta junto!

O enunciado que que a gente faça um gráfico da razão entre a condução através do eixo e a potência líquida produzida pela turbina, na faixa que ele nos deu…

Bom, antes de tudo ele fala pra gente que as dimensões terão uma escala reduzida e que a potência líquida é proporcional ao volume…

O que ele está querendo dizer é o seguinte: nosso diâmetro e potência serão reduzidos proporcionalmente com relação a um volume!

Então nós tínhamos um:

L a = 1   m d a = 70   m m P a = 5   M W

Que serão reduzidos, assim olha só:

d = d a   .   L L a P = P a   .   L L a 3

Não se assusta, esse L aí ficará em função, pra gente montar o gráfico na faixa que foi dada, belezinha?

Agora vamos refazer a razão entre a transferência de calor e potência, show?

Vamos fazer do mesmo jeitinho, ok?

r = q x P

Só que agora o nosso q x e o nosso P são diferentes… Vamos substituí-los ali:

r = π d 2 4   .   k   .   T q - T f L P

r = π   .   d a   .   L L a 2 4   .   k   .   T q - T f L P a   .   L L a 3

r = k   .   T q - T f   .   π 4   .   d a 2   .   L a P a L 2

Passo 4

Agora vamos substituir nosso dados, mas vamos manter em função do L , show?

r = 40   .   1000 - 400   .   π 4   .   0,070 2   .   1 5   .   10 6 L 2

r = 18,47   .   10 - 6 L 2

Show! Conseguimos a razão, agora vamos fazer o teste para saber se é possível nosso L = 0,005   m :

r = 18,47   .   10 - 6 0,005 2

r = 0,74

Olha só, a nossa relação entre a transferência de calor e a potência líquida deu 0,74 , mas temos que ver que o conceito de turbina muito pequena não é algo viável, beleza?

Então vemos que o modelo reduzido não é factível, certo?

Agora vamos exibir graficamente o comportamento da razão entre transferência de calor e da potência e o nosso L :

Conseguimos! Acabamos com a questão!

Resposta

  1. r = 18,48   .   10 - 6
  2. r = 18,47   .   10 - 6 0,005 2 ; O modelo reduzido não é factível.

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