Enunciado

Uma parede plana de espessura L = 4 cm tem condutividade térmica k = 20   W / m ⋅ K . Uma reação química ocorre dentro da parede, resultando na geração de calor uniforme e uma taxa de e ˙ g e r = 10 5   W / m 3 . Entre a parede e a camada isolante, existe um aquecedor de espessura desprezível que gera fluxo de calor q ˙ s = 16   k W / m 2 . O lado oposto da parede está em contato com água em temperatura T ∞ = 40   ° C . Um termopar na superfície da parede em contato com a água marca T s = 90   ° C .

  1. Determine o coeficiente de convecção entre a parede a água.
  2. Mostre que a distribuição permanente de temperatura tem forma T x = a x 2 + b x + c e determine os valores e as unidades de a, b e c. A origem de x é mostrada na figura.
  3. Determine a posição e o valor da temperatura máxima na parede. Essa posição pode ser encontrada sem conhecer os valores de a, b e c, apenas sabendo que T x é uma função quadrática? Justifique

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor e condutividade térmica constante.

Vamos começar determinando o coeficiente de convecção h . Para isto, basta fazermos um balanço de energia no corpo. Sendo assim, temos:

C a l o r   q u e   e n t r a - C a l o r   q u e   s a i + C a l o r   g e r a d o = C a l o r   a c u m u l a d o

q ˙ s ⋅ A - h ⋅ A ⋅ T s - T ∞ + e ˙ g e r ⋅ A ⋅ L = 0

h = q ˙ s + e ˙ g e r ⋅ L T s - T ∞ = 16000 + 10 5 ⋅ 0,04 90 - 40 = 400   W / m 2 ⋅ K

E assim finalizamos a letra a)

Passo 2

Agora vamos provar a equação da distribuição de temperatura do corpo. Para isto, precisamos partir da equação diferencial e utilizar as condições de contorno do problema.

Por causa das nossas hipóteses, temos a seguinte equação diferencial:

d 2 T d x 2 + e ˙ g e r k = 0

E as condições de contorno são:

T 0 = T s

- k d T d x x = 0 = - h T s - T ∞

Agora, vamos resolver nossa EDO. Então, temos:

d 2 T d x 2 = - e ˙ g e r k

d T d x = - e ˙ g e r k x + C 1

T x = - e ˙ g e r 2 k x 2 + C 1 x + C 2

Aplicando as condições de contorno, temos:

T 0 = C 2 = T s = 90   ° C

Já na segunda condição, temos:

- k C 1 = - h T s - T ∞

C 1 = h T s - T ∞ k = 400 ⋅ 90 - 40 20 = 1000   ° C / m

Por fim, a nossa distribuição de temperatura é dada por:

T x = - 10 5 2 ⋅ 20 x 2 + 1000 x + 90

T x = - 2500 x 2 + 1000 x + 90

E então, conseguimos uma distribuição quadrática! Os valores dos coeficientes são a = - 2500   ° C / m 2 , b = 1000   ° C / m e c = 90   ° C

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma equação quadrática, a posição em que a função é maximizada é em:

x m á x = - b 2 a = - 1000 2 ⋅ - 2500 = 0,2   m

Agora, o problema é que a parede só possui 0,04   m de comprimento. Para valores maiores ou menores que 0,2 m o valor da temperatura diminui (pois temos o valor de a negativo!).

Logo, o valor da temperatura será o maior para a coordenada x da parede mais próxima de x m á x , o que ocorre em x = 0,04   m ! E a temperatura nesta posição é:

T 0,04 = - 2500 ⋅ 0,04 2 + 1000 ⋅ 0,04 + 90 = 126   ° C

Além disto, poderíamos determinar esta posição sim sem analisarmos a equação! Como a parede em x = L é adiabática (não troca calor), e temos um corpo com geração de calor e em regime permanente, significa que todo o calor gerado é “expulso” dele.

E então, se uma parede não troca calor e nós precisamos expulsar o calor do corpo, só nos resta expulsar pela outra parede, né? E para que a condução seja no sentido da outra parede, significa que a temperatura aumenta no sentido contrário (condução é no sentido contrário do gradiente).

E é por isto que temos a temperatura máxima na parede adiabática.

Resposta

  1. O coeficiente de convecção é:
  2. h = 400   W / m 2 ⋅ K

  3. A distribuição de temperatura e os coeficientes a, b e c são:
  4. T x = - 2500 x 2 + 1000 x + 90

    a = - 2500   ° C / m 2

    b = 1000   ° C / m

    c = 90   ° C

  5. A temperatura máxima e a posição são dadas em:

x m á x = 0 , 04   m

T m á x = 1 26   ° C

Sim, pode-se inferir que é na parede adiabática que temos as maiores temperaturas

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a função f x e sua derivada d f / d x . A derivada precisa ser função de x ?
Considere uma extensa parede plana de comprimento L = 0,05m . A superfície da parede em x = 0 é isolada, enquanto a superfície em x = L é mantida a uma temperatura de 30 °C. A condutividade térmica da
Considere uma placa de 1,5 m de altura, 0,6 m de largura e 0,15 m de espessura. Um lado da placa é mantido a uma temperatura constante de 500 K, enquanto o outro lado é mantido a uma temperatura de 35
Uma pastilha de silício com espessura de 925μ m é aquecida com um fluxo de calor uniforme na superfície inferior. A pastilha de silício tem uma condutividade térmica que varia com a temperatura e pode
Em uma fábrica, o processo de endurecimento por resfriamento brusco é utilizado para tratar os rolamentos de esfera de aço ( c = 500J / k g ⋅ K , k = 60W / m ⋅ K , ρ = 7900k g / m 3 ) de 25 mm de diâm