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Uma aplicação importante da mecânica dos fluidos é o estudo da ventilação de uma sala. Em particular, suponhamos que há uma fonte 5 (massa por unidade de tempo) de poluição do ar em uma sala de volume V (Figura P7-25). Os exemplos incluem o monóxido de carbono da fumaça do cigarro ou um aquecedor à querosene sem ventilação, os gases como a amónia dos produtos de limpeza de uma casa e os vapores liberados pela evaporação dos compostos orgânicos voláteis (VOCs) de um contêiner aberto. Seja c a concentração de massa (a massa do contaminante por unidade de volume de ar). V ˙ é a vazão em volume de ar fresco que entra na sala. Se o ar da sala estiver bem misturado para que a concentração de massa c seja uniforme em toda a sala, mas varie com o tempo, a equação diferencial da concentração de massa na sala como função do tempo é

onde k w é um coeficiente de adsorção e A s é a área da superfície das paredes, pisos, móveis etc. que absorvem parte do contaminante. Escreva as dimensões primárias dos três primeiros termos aditivos da equação, e certifique-se de que esses termos são dimensionalmente homogêneos. Em seguida, determine as dimensões de k w . Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente vamos relembrar as dimensões primárias de cada termo citado pelo problema:

1. As dimensões primárias da derivada do tempo ( d / d t ) são 1 / t e m p o .

2. Os de A s são c o m p r i m e n t o ² ,

3. Os de V são c o m p r i m e n t o ³ ,

4. Os de c são m a s s a / c o m p r i m e n t o ³ e

5. Os de V são c o m p r i m e n t o ³ / t e m p o .

6. S é m a s s a / t e m p o (como o problema informa)

Vamos agora ver se a equação é dimensionalmente homogênea.

Passo 2

Passo 3

Para relembrar a equação diferencial da concentração de massa na sala como função do tempo:

V d c d t = S - V ˙ c - c A s k w

Assim, cada termo na equação pode ser escrito em termos de dimensões primárias:

Primeiramente:

V d c d t = c o m p r i m e n t o 3 ⋅ m a s s a c o m p r i m e n t o 3 ⋅ 1 t e m p o = m a s s a t e m p o   ;

S = m a s s a t e m p o   ;

V ˙ c = c o m p r i m e n t o 3 t e m p o ⋅ m a s s a c o m p r i m e n t o 3 = m a s s a t e m p o

Passo 4

De fato, os três primeiros termos aditivos têm as mesmas dimensões { m 1 t - 1 }. Como a equação deve ser dimensionalmente homogênea, o último termo também deve ter as mesmas dimensões.

Então, usamos esse fato para encontrar as dimensões de k w :

c A s k w = m a s s a c o m p r i m e n t o 3 ⋅ c o m p r i m e n t o 2 ⋅ k w = m a s s a t e m p o

Reorganizando os termos:

k w = m a s s a t e m p o ⋅ 1 c o m p r i m e n t o 2 ⋅ c o m p r i m e n t o 3 m a s s a = c o m p r i m e n t o t e m p o

Resposta

Portanto, foi provado que a equação é dimensionalmente homogênea e:

k w = c o m p r i m e n t o t e m p o

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