Enunciado

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Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada-limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u = 0 na superfície ( y = 0 ) até a velocidade de corrente livre, U , na borda da camada-limite ( y = δ ) . A equação do perfil é u U = 2 y δ - y δ 2 , em que δ = c x 1 2 , sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é

u U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

Determine a razão em que δ = 5   m m e x = 0,5   m .

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Sabendo que:

u = U 2 y δ - y δ 2

Então:

∂ ∂ δ U 2 y δ - y δ 2 = U - 2 y δ 2 + 2 y 2 δ 3

E

∂ δ ∂ x = ∂ ∂ x c x 1 2 = 1 2 c x 1 2 x = δ 2 x

Temos que:

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ δ ⋅ ∂ δ ∂ x =   U - 2 y δ 2 + 2 y 2 δ 3 ⋅ δ 2 x

∂ u ∂ x = - U δ x y δ 2 - y 2 δ 3

Passo 3

Tendo que:

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

Então:

∂ v ∂ y = U δ x y δ 2 - y 2 δ 3

Integrando:

d v = U δ x y δ 2 - y 2 δ 3   d y

∫ d v = U δ x ∫ y δ 2 - y 2 δ 3 d y

v x , y = U δ x y 2 2 δ 2 - y 3 3 δ 3 + f ( x )

Passo 4

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de y .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = U δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

v U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

Passo 5

Determinando a razão em que δ = 5   m m e x = 0,5   m , sabendo que y = δ .

v U = 0,005 0,5 1 2 - 1 3 = 1,667 x 10 - 3

Resposta

v U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

v U = 1,667 x 10 - 3

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