Enunciado

Para um escoamento no plano x y , a componente da velocidade em x é dada por u = A x 2 y 2 , em que A = 0,3   m - 3 ⋅ s - 1 e x e y são medidos em metros. Determine uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela é válida também para um escoamento não permanente incompressível? Por quê? Quantas possíveis componentes y existem? Determine a equação da linha corrente para a mais simples componente y da velocidade.

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Temos que u = A x 2 y 2 , então:

∂ ∂ x ( A x 2 y 2 ) + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x ( A x 2 y 2 )

Derivando:

∂ v ∂ y = - 2 A x y 2

Passo 3

Integrando:

d v = - 2 A x y 2   d y

∫ d v = - 2 A x ∫ y 2 d y

Sendo A = 0,3   m - 3 ⋅ s - 1 :

v x , y = - 2 3 ⋅ 0,3 x y 3 + f ( x )

v x , y = - 0,2 x y 3 + f ( x )

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de x .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = - 0,2 x y 3

Resposta

v x , y = - 0,2 x y 3

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