Enunciado

Um aquecedor elétrico cuja resistência é um fio extenso e homogêneo de raio r 0 = 5   m m é usado para aquecer o ar de uma sala pela passagem de corrente elétrica no fio. Calor é gerado no fio uniformemente a uma taxa de 5 × 10 7 W / m 3 como resultado da resistência que a corrente encontra. Considerando que a temperatura da superfície externa do fio permanece a 180 °C, determine a temperatura a r = 3,5   m m depois de alcançadas as condições de operação permanente. Assuma que a condutividade térmica do fio é k = 6   W / m ⋅ K .

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor e condutividade térmica constante.

Inicialmente, vamos resolver a EDO associada, obtendo assim a distribuição de temperatura. Somente depois iremos obter a temperatura para um valor de r = 3,5   m m . Como estamos trabalhando com um fio de formato cilíndrico, vamos utilizar o sistema de coordenadas cilíndrica. Portanto, a EDO que rege o nosso problema é:

1 r d d r r d T d r + e ˙ g e r k = 0

Agora, precisamos discutir as condições de contorno que o nosso problema está sujeito, os quais são dois. O primeiro é a simetria do fio. Esta simetria implica em dizer que a temperatura máxima do fio está localizada no meio dele. Consequentemente, não há condução de calor em r = 0 . Portanto:

- k d T d r r = 0 = 0

Já a outra condição é temperatura constante na superfície. Portanto, temos:

T r 0 = T s = 180   ° C

Passo 2

Agora, precisamos resolver a nossa EDO e utilizar as condições de contorno, pois, determinar a variação de temperatura na placa nada mais é do que determinar a distribuição de temperatura nela. Portanto, temos:

1 r d d r r d T d r = - e ˙ g e r k

r d T d r = - e ˙ g e r 2 k r 2 + C 1

Vamos utilizar a nossa primeira condição de contorno, a simetria do problema. Com isto, temos:

d T d r r = 0 = 0

Logo,

r d T d r = 0 = 0 - e ˙ g e r 2 k 0 2 + C 1

C 1 = 0

Agora que descobrimos o valor da primeira constante, vamos continuar a resolver a nossa EDO. Portanto:

r d T d r = - e ˙ g e r 2 k r 2

d T d r = - e ˙ g e r 2 k r

T r = - e ˙ g e r 4 k r 2 + C 2

Precisamos utilizar a nossa segunda condição de contorno. Portanto, temos:

T r 0 = - e ˙ g e r 4 k r 0 2 + C 2 = 180

C 2 = 180 + e ˙ g e r 4 k r 0 2

C 2 = 180 + 5 ⋅ 10 7 4 ⋅ 6 ⋅ 0,005 2 = 232

Portanto, a distribuição de temperatura no nosso fio é:

T r = - e ˙ g e r 4 k r 2 + 232

T r = - 2,083 ⋅ 10 6 ⋅ r 2 + 232

OBS: Muito cuidado na hora de substituírem as constantes do problema! Sempre tomem cuidado com as unidades que estamos trabalhando. Tentem sempre colocar no SI.

Passo 3

Estamos quase terminando a nossa questão! Agora que obtivemos a distribuição de temperatura, basta substituirmos o valor r = 3,5   m m na equação para obtermos a temperatura. Entretanto, muito cuidado! A unidade tem que estar no SI, então, substituiremos r = 0,0035   m . Agora sim. Portanto, temos:

T 0,0035 = - 2,083 ⋅ 10 6 ⋅ 0,0035 2 + 232

T 0,0035 = 206,5   ° C

Percebam que a resposta variou um pouco em relação ao resultado do livro apenas pelos arredondamentos dos números.

Resposta

T 0,0035 = 206,5   ° C

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