Enunciado

61 - Um aquecedor elétrico de imersão, com 10   m m de diâmetro e 300   m m de comprimento, tem potência nominal de 550   W . Se o aquecedor for posicionado horizontalmente no interior de um grande tanque contendo água a 20   ℃ , estime sua temperatura superficial. Estime a temperatura superficial se o aquecedor for acidentalmente operado em ar a 20 ℃ .

Passo 1

Primeiro, vamos considerar que o aquecedor é colocado na água.

Antes de começarmos o exercício, precisamos encontrar a temperatura de filme. Porém se observar, não temos uma temperatura superficial (que é justamente o que devemos achar), por isso, nesses casos devemos chutar um valor inicial.

Portanto, irei assumir a temperatura de superfície como T s = 64   ℃ .

Dessa forma, a temperatura de filme nesse caso é dada por:

T f = T s + T ∞ 2

= 64 + 20 2

= 42   ℃ = 315   K

Passo 2

Obtenha as propriedades da água na tabela A.6 (Propriedades termo físicas da água saturada) à temperatura de T f = 315   K .

Viscosidade cinemática é:

v = 6,25 × 10 - 7   m 2 / s

Condutividade térmica é:

k = 0,643   W \ m K

A difusividade térmica é:

α = 1,531 × 10 - 7   m 2 / s

O número Prandtl é:

P r = 4,16

O Coeficiente de expansão é:

β = 400,4 × 10 - 6   K - 1

Passo 3

Agora precisamos, calcular o número de Rayleigh para obter convecção gratuita.

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v α

Aqui,  β é o coeficiente de expansão,  ( T s - T ∞ ) é a diferença de temperatura, D é o diâmetro, v é a viscosidade cinemática e  é o coeficiente de difusividade térmica.

= 9,81 × ( 400,4 × 10 - 6   ) 64 - 20 0,010 3 ( 6,25 × 10 - 7 ) ( 1,531 × 10 - 7   )

= 1,726524 × 10 - 07 9,56875 × 10 - 14

R a D = 1,804 × 10 6

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção por meio da seguinte relação.

h = N u D × k D

= k D 0,60 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

= 0,634 0,01 0,60 + 0,387 1,804 × 10 6 1 6 1 + 0,559 4,16 9 16 8 27 2

= 63,4 0,60 + 4,26989 1,086556 2

= 63,4 0,60 + 3,92974 2

= 1301   W / m 2 ⋅   K

Passo 5

Agora que temos todas as informações, basta calcularmos a temperatura superficial:

T s = q ' h π D L + T ∞

Aqui,  T ∞ é a temperatura ambiente, D é o diâmetro, q é a perda de calor, L é o comprimento e o  h é o coeficiente de transferência de calor.

= 550 1301 ( π × 0,01 × 0,3 ) + 20

T s ≅ 64,8   ℃

Portanto, como a temperatura é próxima da sugerida no começo do exercício, podemos validar a resposta. Logo, a temperatura da superfície quando o aquecedor é colocado na água é  64,8 ℃ .

Passo 6

b) Agora devemos considerar que o aquecedor é operado acidentalmente no ar.

Assuma o valor do coeficiente de transferência de calor como  h = 25   W / m 2 ⋅ K .

Calcule o valor da temperatura da superfície  T s .

T s = q ' h π D L + T ∞

= 550 25 ( π × 0,01 × 0,3 ) + 20

T s = 2354,27     ℃

Esta é uma temperatura muito grande para o aquecedor operar e, portanto, sua operação no ar não é viável.

Passo 7

Obtenha as propriedades do ar na tabela A.4 (Propriedades termo físicas dos gases à pressão atmosférica) na temperatura 20 ℃ = 293   K .

Viscosidade cinemática é:

v = 1,511 × 10 - 5   m 2 / s

Condutividade térmica é:

k = 0,025596   W \ m K

A difusividade térmica é:

α = 2,117 × 10 - 5   m 2 / s

O número Prandtl é:

P r = 0,71

O Coeficiente de expansão é:

β = 3,4112 × 10 - 3   K - 1

Passo 8

Agora precisamos, calcular o número de Rayleigh para obter convecção gratuita.

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v α

Aqui,  β é o coeficiente de expansão,  ( T s - T ∞ ) é a diferença de temperatura, D é o diâmetro, v é a viscosidade cinemática e  é o coeficiente de difusividade térmica.

= 9,81 × ( 3,4112 × 10 - 3     ) 2354,27 - 20 0,010 3 ( 1,511 × 10 - 5 ) ( 2,117 × 10 - 5   )

R a D = 2,44 × 10 5

Calcule o valor do número de Nusselt.

N u D = C R a D n

Da tabela 9.1 temos que C = 0,85 e n = 0,188 .

N u D = 0,85 × 2,44 × 10 5 0,188

= 8,754

Passo 9

Agora podemos calcular o valor de  h .

N u D = h D k

h = N u D k D

= 8,754 × 0,025596 0,01

h = 22,4   W / m 2 ⋅ K

Portanto, a aproximação do coeficiente de transferência de calor é correta.

Assim, a temperatura da superfície do aquecedor, quando imerso no ar é  T = 2300   K .

Resposta

T s , á g u a ≅ 64,8   ℃

T s , a r = 2300   K

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