Enunciado

Ar escoa para dentro da seção de contração de entrada de um túnel de vento de um laboratório de graduação. O ar entra em seguida na seção de teste, que é um duto de seção quadrada com lados de 305 mm. A seção de teste tem 609 mm de comprimento. Em uma condição de operação, o ar deixa a contração a 50,2 m/s com espessura de camada limite desprezível. Medições mostram que as camadas-limite a jusante, no final da seção de teste, têm 20,3 mm de espessura. Avalie a espessura de deslocamento das camadas-limite neste local. Calcule a variação na pressão estática ao longo da seção de teste do túnel de vento. Estime a força de arrasto total causada pelo atrito superficial sobre cada parede do túnel de vento.

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que vamos fazer aqui é escrever a equação da definição de espessura do deslocamento, equação 9.1 vista nesse capítulo, então, temos:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

Agora, vamos dividir os dois lados da equação pela espessura δ , teremos:

δ * δ = 1 δ ∫ 0 δ 1 - u U d y → δ * δ = ∫ 0 δ 1 - u U . d y δ

Agora vamos fazer uma mudança de varíavel, vamos chamar:

η = y δ → d η = d y δ

E, quando y → δ , η → 1 . E, sabendo que o perfil de potência é dado por:

η 1 7 = u U

Podemos reescrever nossa integral como:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - η 1 7 d η

Resolvendo a integral, chegamos em:

δ * δ = η - 7 η 8 7 8 0 1

Substituindo os limites de integração, temos:

δ * δ = 1 - 7 8 - 0 → δ * δ = 1 8

Então, a espessura de deslocamento na saída será:

δ 2 * 0,0203 = 1 8 → δ 2 * = 2,5375.10 - 3   m

Passo 2

Agora o que devemos fazer é aplicar o princípio da continuidade para o sistema. E nesse caso, como temos regime permamente e área transversal constante, teremos que a vazão na entrada é a mesma na saída, então podemos escrever:

U 1 A 1 = U 2 A 2 → U 1 H 2 = U 2 H - 2 δ 2 * 2

Agora, vamos substituir os valores conhecidos e encontrar a velocidade do fluido na saída:

50,2 0,305 2 = U 2 0,305 - 2 2,5375.10 - 3 2 → U 2 = 51,91   m / s

Agora para avaliar a variação de pressão estática ao longo da seção de teste, nós iremos utilizar a equação de Bernoulli, que nos dá:

p 1 ρ + U 1 2 2 + z 1 = p 2 ρ + U 2 2 2 + z 2

No nosso caso, a diferença de cota entre os níveis da entrada e saída podem ser desprezados, então, teremos:

p 1 ρ + U 1 2 2 = p 2 ρ + U 2 2 2

E, escrevendo em função da diferença de pressão, temos:

p 2 - p 1 ρ = U 1 2 - U 2 2 2 → Δ p 1,2 = ρ 2 U 1 2 - U 2 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Δ p = 1,23 2 50,2 2 - 51,91 2 → Δ p = - 107,4   P a

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação do equilíbrio de momento para o sistema na direção x , então, teremos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, não temos força de campo atuando na direção x , então teremos F B x = 0 . As forças de superfície atuando no sistema são as forças de cisalhamento e a força de pressão. E, como temos regime permanente, a derivada parcial no tempo será zero, então a equação acima se torna:

p 1 H δ 2 - F c - p 2 H δ 2 = U 1 - ρ U 1 A 1 + U m e d m ˙ m e d + ∫ 0 δ 2 u ρ u H d y

Agora, reescrevendo a equação substituindo os termos conhecidos, chegamos em:

p 1 H δ 2 - F c - p 2 H δ 2 = - ρ U 1 2 H δ 2 + U m e d m ˙ t o p o + ρ H ∫ 0 δ 2 u 2 d y

Precisamos encontrar a expressão para a velocidade média do sistema e a vazão mássica que sai por cima dele. Sabemos que a velocidade média será uma média entre as velocidades nos pontos 1 e 2, então, temos:

U m e d = U 1 + U 2 2 = 50,2 + 51,91 2 → U m e d = 51,05   m / s

Agora, a vazão que sai pelo topo do volume de controle será a diferença entre a vazão mássica que entra por 1 e a que sai por 2, já que temos continuidade no sistema. Então, sendo assim, temos:

m ˙ t o p o = m ˙ 1 - m ˙ 2 = ρ U 1 H δ 2 - ∫ 0 δ 2 ρ u H d y

Então, resolvendo essa integral com o auxílio da equação para o perfil de velocidade, fazendo a mesma substituição realizada no passo 1, temos:

∫ 0 δ 2 ρ u H d y = ρ U 2 H δ 2 ∫ 0 1 η 1 7 d η

Resolvendo a integral, temos:

ρ U 2 H δ 2 ∫ 0 1 η 1 7 d η = ρ U 2 H δ 2 7 8 η 8 7 0 1 = 7 ρ U 2 H δ 2 8

Então, substituindo essa expressão na equação para a vazão mássica do topo, temos:

m ˙ t o p o = m ˙ 1 - m ˙ 2 = ρ U 1 H δ 2 - ∫ 0 δ 2 ρ u H d y

m ˙ t o p o = ρ U 1 H δ 2 - 7 ρ U 2 H δ 2 8

Passo 4

Agora vamos resolver a integral descrita na equação de equilíbrio de momento no passo 3, dada por:

∫ 0 δ 2 u ρ u H d y = ρ H ∫ 0 δ 2 u 2 d y

Da mesma forma, vamos utilizar a substituição em η feita no passo 1, então, essa integral se tornará:

ρ H U 2 2 δ 2 ∫ 0 1 η 2 7 d η

Resolvendo a integral, temos:

ρ H U 2 2 δ 2 7 η 9 7 9 0 1 → 7 ρ H U 2 2 δ 2 9

Então, substituindo todas as expressões encontradas na equação de momento, temos:

p 1 H δ 2 - F c - p 2 H δ 2 = - ρ U 1 2 H δ 2 + U m e d m ˙ t o p o + ρ H ∫ 0 δ 2 u 2 d y

p 1 H δ 2 - F c - p 2 H δ 2 = - ρ U 1 2 H δ 2 + U m e d ρ U 1 H δ 2 - 7 ρ U 2 H δ 2 8 + 7 ρ H U 2 2 δ 2 9

p 1 - p 2 H δ 2 - F c = - ρ U 1 2 H δ 2 + U m e d ρ U 1 H δ 2 - 7 ρ U 2 H δ 2 8 + 7 ρ H U 2 2 δ 2 9

Substituindo os valores conhecidos, conseguimos encontrar a força de atrito:

107,4 0,305 0,02 - F c = - 1,23 50,2 2 0,305 0,02 + 51,05 1,23 50,2 0,305 0,02 - 7 1,23 51,91 0,305 0,02 8 + 7 1,23 0,305 51,91 2 0,02 9

0,655 - F c = - 18,91 + 51,05 0,3766 - 0,3408 + 15,725 → F c = 2,01   N

Resposta

δ 2 * = 2,5375.10 - 3   m

Δ p = - 107,4   P a

F c = 2,01   N

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