Enunciado

Um túnel de vento de laboratório tem uma seção de teste quadrada, com lados de extensão W = 305   m m , e comprimento L = 610   m m . Quando a velocidade de corrente livre do ar na entrada da seção de teste é U 1 = 24,4   m / s , a perda de carga no túnel é 6,5 m m H 2 O . Camadas limite turbulentas formam-se no topo, fundo e paredes laterais da seção de teste. Medições mostram que as espessuras da camada limite são δ 1 = 20,3   m m na entrada e δ 2 = 25,4   m m na saída da seção de teste. Os perfis de velocidade são de lei de potência 1/7. Avalie a velocidade do ar na corrente livre na saída da seção de teste. Determine as pressões estáticas na entrada e na saída da seção de teste.

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que vamos fazer aqui é escrever a equação da definição de espessura do deslocamento, equação 9.1 vista nesse capítulo, então, temos:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

Agora, vamos dividir os dois lados da equação pela espessura δ , teremos:

δ * δ = 1 δ ∫ 0 δ 1 - u U d y → δ * δ = ∫ 0 δ 1 - u U . d y δ

Agora vamos fazer uma mudança de varíavel, vamos chamar:

η = y δ → d η = d y δ

E, quando y → δ , η → 1 . E, sabendo que o perfil de potência é dado por:

η 1 7 = u U

Podemos reescrever nossa integral como:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - η 1 7 d η

Resolvendo a integral, chegamos em:

δ * δ = η - 7 η 8 7 8 0 1

Substituindo os limites de integração, temos:

δ * δ = 1 - 7 8 - 0 → δ * δ = 1 8

Então, a espessura de deslocamento na entrada será:

δ e * 0,0203 = 1 8 → δ e * = 2,537.10 - 3   m

E, na saída teremos:

δ s * 0,0254 = 1 8 → δ s * = 3,175.10 - 3   m

Passo 2

Agora o que devemos fazer é aplicar o princípio da continuidade para o sistema. E nesse caso, como temos regime permamente e área transversal constante, teremos que a vazão na entrada é a mesma na saída, então podemos escrever:

u e A e = u s A s → u e W - 2 δ e * 2 = u s W - 2 δ s * 2

Agora, vamos substituir os valores conhecidos e encontrar a velocidade do fluido na saída:

24,4 0,305 - 2 2,537.10 - 3 2 = u s 0,305 - 2 3,175.10 - 3 2 → u s = 24,61   m / s

Passo 3

Agora para avaliar as pressões estáticas na entrada e na saíd da seção de teste, nós iremos utilizar a equação de Bernoulli, que nos dá:

p e ρ + u e 2 2 + z e = p s ρ + u s 2 2 + z s

No nosso caso, a diferença de cota entre os níveis da entrada e saída podem ser desprezados, então, teremos:

p e ρ + u e 2 2 = p s ρ + u s 2 2

E, escrevendo em função da diferença de pressão, temos:

p s - p e ρ = u e 2 - u s 2 2 → Δ p e , s = ρ 2 u e 2 - u s 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Δ p e , s = 1,23 2 24,4 2 - 24,61 2 → Δ p e , s = - 6,33   P a

Agora, sabendo que temos uma perda de carga na entrada da tubulação, podemos modelar essa perda como:

p 0 ρ + u 0 2 2 - p e ρ + u e 2 2 = h p

Então, para o ar fora da tubulação, podemos considerar u 0 = 0 e temos p 0 = p a t m , e como estamos interessados na pressão manométrica, vamos fazer p 0 = 0 . Então, substituindo os valores conhecidos na equação acima podemos encontrar a pressão de entrada na tubulação:

0 ρ + 0 2 2 - p e 1,23 + 24,4 2 2 = 0,0065 9,81 998 → p e = - 444,42   P a

Então, com isso, podemos encontrar a pressão na saída da tubulação através de:

p s = p e + Δ p e , s = - 444,42 + - 6,33 → p s = - 450,75   P a

Resposta

u s = 24,61   m / s

p e = - 444,42   P a

p s = - 450,75   P a

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