Enunciado

O asfalto de uma estrada está inicialmente na temperatura uniforme de 55   ° C . De repente, a temperatura da superfície da estrada é reduzida 25   ° C devido à chuva. Determine a temperatura na profundidade de 3   c m da superfície da estrada e o fluxo de calor transferido na estrada depois de 60   m i n u t o s . Suponha que a temperatura da superfície da estrada é mantida a 25   ° C .

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! A primeira coisa que a gente tem que fazer é assumir hipóteses. Nessa questão, temos como assumir que:

  • O asfalto da estrada pode ser considerado como um sólido semi-infinito.
  • As propriedades térmicas do asfalto são constantes. Isso quer dizer que para o asfalto, a partir da tabela A-8, o valor da condutividade térmica k = 0,062   W / ( m . K ) , da densidade ρ = 2115   k g / m 3 e do calor específico c p = 920   J / ( k g . K ) são constantes.

Passo 2

Agora vamos para a análise do problema, pessoal! A gente pode notar que essa questão possui duas partes, sendo elas:

  1. Determinar a temperatura na profundidade de 3   c m da superfície da estrada depois de 60   m i n u t o s ;
  2. Determinar o fluxo de calor transferido na estrada depois de 60   m i n u t o s .

Agora que sabemos com clareza o que nos foi pedido, vamos partir para os cálculos!

Passo 3

Como observado no enunciado, este é um problema de condução transiente em meio semi-infinito com uma temperatura superficial especificada T s = 25   ° C constante. Portanto, a distribuição de temperatura e o fluxo de calor em regime transiente unidimensional nesse caso são, respectivamente, dados por:

Distribuição de temperatura: T ( x , t )   -   T i   T s   -   T i = e r f c x 2 α . t

Fluxo de calor na superfície: q s ˙ t = k . ( T s -   T i ) π . α . t

Passo 4

Eu vou escolher começar resolvendo pela parte 2 da questão! Vamos aplicar a equação do fluxo de calor na superfície:

q s ˙ t = k . ( T s -   T i ) π . α . t

Minha nossa, eu não tenho o valor de α ! Não se desespere! α é a difusividade térmica do material e ela pode ser calculada pela seguinte equação:

α = k ρ . c p

Ufa, agora a gente vai conseguir com certeza! Temos todas essas variáveis em mão! Vamos jogar eles na equação e descobri o valor da difusividade térmica! Portanto:

α = 3,186 . 10 - 8   m 2 / s

Passo 5

Agora podemos aplicar a equação do fluxo de calor na superfície! Sabemos do enunciado, que o asfalto está inicialmente na temperatura uniforme de T i = 55   ° C e que o período de tempo é t = 60   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 3600   s . Portanto:

q s ˙ 3600 = 98   W / m 2

Conseguimos a primeira resposta!

Passo 6

Agora vamos para a parte 1 da questão, pessoal! Vem comigo que falta pouco! Precisamos determinar a temperatura na profundidade de x = 3   c m . 1   m 10 2   c m = 0,03   m da superfície da estrada. Substituindo todos os valores que temos em mãos, vamos aplicar a equação da distribuição de temperatura:

T ( x , t )   -   T i   T s   -   T i = e r f c x 2 α . t

T ( 0,03 ,   3600 )   -   55   25 -   55 = e r f c 0,03 2 3,186 . 10 - 8 . 3600

T ( 0,03 ,   3600 )   -   55   25 -   55 = e r f c 1,4

Da tabela 4-4 temos que e r f c 1,4 = 0,04772 . Portanto:

T 0,03 ,   3600 = 53,6   ° C

Conseguimos nossa segunda resposta pessoal! Mandamos muito bem!

Resposta

Após todos esses passos, temos que a temperatura na profundidade de 3   c m da superfície da estrada e o fluxo de calor transferido na estrada depois de 60   m i n u t o s são, respectivamente, T 0,03 ,   3600 = 53,6   ° C e q s ˙ 3600 = 98   W / m 2 .

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