Enunciado

Uma pessoa descalça cujos pés estão a 32   ° C pisa em um bloco de alumínio a 20   ° C . Considerando tanto os pés quanto o bloco de alumínio como sólidos semi-infinitos, determine a temperatura da superfície de contato. Qual seria sua resposta se a pessoa pisasse em um bloco de madeira? À temperatura ambiente, o valor de k . ρ . c p é 24   k J / ( m 2 . ° C ) para alumínio, de 0,38   k J / ( m 2 . ° C ) para madeira e de 1,1   k J / ( m 2 . ° C ) para carne humana.

Passo 1

Vamos lá pessoal! A primeira coisa a se fazer é assumir hipóteses. Nessa questão temos como assumir que:

  • Todos os corpos podem ser tratados como sólidos semi-infinitos. Ou seja, o bloco de alumínio, os pés da pessoa e a madeira podem ser tratados como sólidos semi-infinitos.
  • Os sólidos possuem propriedades constantes. Isso quer dizer que o valor de k . ρ . c p = 24   k J / ( m 2 . ° C ) para alumínio, de k . ρ . c p = 0,38   k J / ( m 2 . ° C ) para madeira e de k . ρ . c p = 1,1   k J / ( m 2 . ° C ) para a carne humana são constantes.
  • Para que o resultado obtido seja a temperatura máxima, a perda de calor dos sólidos é desconsiderada.

Passo 2

Agora vamos para a análise do problema! Assim pessoal, quando dois corpos A e B, estão inicialmente com temperaturas diferentes T A e T B e são postos em contato, eles atingem imediatamente a igualdade de temperatura na superfície de contato T s entre eles. Caso os corpos forem compostos de mesmo material e com propriedades constantes, a simetria térmica exige que a temperatura da superfície de contato seja a média aritmética entre as temperaturas uniformes dos corpos, sendo constante o tempo todo.

Como estamos tratando de três corpos constituídos de materiais diferentes, a temperatura na superfície de contato T s entre eles é diferente da média aritmética.

Como os fluxos de calor, tanto do corpo A quanto do corpo B são iguais na superfície de contato, a gente finalmente pode calcular a temperatura na superfície de contato T s :

q s A ˙ =   q s B ˙

k A . ( T S - T A ) π . α A . t =   k B . ( T S - T B ) π . α B . t

( T A - T S ) ( T B - T S ) =   ( k . ρ . c p ) B ( k . ρ . c p ) A

Portanto,

T S =   T B . ( k . ρ . c p ) B + T A . ( k . ρ . c p ) A   ( k . ρ . c p ) A + ( k . ρ . c p ) B

Resposta

Depois de todas essas passagens loucas, podemos calcular a temperatura da superfície de contato T S entre os pés da pessoa à T A =   32   ° C e o bloco de alumínio à T B =   20   ° C :

T S =   T B . ( k . ρ . c p ) B + T A . ( k . ρ . c p ) A   ( k . ρ . c p ) A + ( k . ρ . c p ) B

T S =   20.5   ° C

Podemos também calcular a temperatura da superfície de contato T S entre os pés da pessoa à T A =   32   ° C e a madeira à T C =   20   ° C :

T S =   T C . ( k . ρ . c p ) C + T A . ( k . ρ . c p ) A   ( k . ρ . c p ) A + ( k . ρ . c p ) C

T S =   28.9   ° C

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