Enunciado

Um recipiente grande de ferro fundido ( k = 52   W / ( m . K ) e α = 1,70 . 10 - 5   m 2 / s ) com paredes de 4   c m de espessura, inicialmente a uma temperatura uniforme 0   ° C , está cheio com gelo a 0   ° C . Agora, a superfície externa do recipiente é exposta à água quente a 55   ° C , com um coeficiente de transferência de calor muito grande. Determine o tempo necessário para o gelo no interior do recipiente começar a derreter. Além disso, considerando o coeficiente de transferência de calor na superfície interna do recipiente como 250   W / ( m 2 . K ) , determine a taxa de transferência de calor para o gelo através da seção de uma parede de 1,2   m de largura e 2   m de altura quando as condições operacionais permanentes forem atingidas. Considere que o gelo começa a derreter quando a temperatura da superfície interna sobe para 0,1   ° C .

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Dizem que questões com longos enunciados são fáceis e vamos provar que é verdade! A primeira coisa que a gente tem que fazer é assumir hipóteses. Nessa questão, temos como assumir que:

  • A temperatura nas paredes do recipiente é afetada apenas pelas condições térmicas nas superfícies externas e o coeficiente de transferência de calor convectivo no exterior é considerado muito grande. Portanto, o muro pode ser considerado um meio semi-infinito com uma temperatura superficial especificada.
  • As propriedades térmicas das paredes do recipiente são constantes. Isso quer dizer que o valor da condutividade térmica k = 52   W / ( m . K ) e da difusividade térmica α =   1,70 . 10 - 5   m 2 / s   são constantes.

Passo 2

Agora vamos para a análise do problema, pessoal! A gente pode notar que essa questão possui duas partes, sendo elas:

  1. Determinar o tempo necessário para o gelo no interior do recipiente começar a derreter.
  2. Determinar a taxa de transferência de calor para o gelo através da seção de uma parede de 1,2   m de largura e 2   m de altura quando as condições operacionais permanentes forem atingidas.

Agora que sabemos com clareza o que nos foi pedido, vamos partir para os cálculos!

Passo 3

Vamos começar resolvendo a parte 1 da questão, venham comigo! Como observado no enunciado, este é um problema de condução transiente em meio semi-infinito com uma temperatura superficial especificada T s = 55   ° C constante. Portanto, a distribuição de temperatura em regime transiente unidimensional nesse caso é dada por:

T x , t -   T i   T s   -   T i = e r f c x 2 α . t

Passo 4

Ainda no enunciado, nos foi dito que as paredes possuem x = 4   c m . 1   m 10 2   c m = 0,04   m de espessura e que inicialmente elas estavam a uma temperatura uniforme de T i = 0   ° C . Agora repare na sacada! Foi pedido para considerar que o gelo começa a derreter quando a temperatura da superfície interna sobe para 0,1   ° C , portanto a temperatura tem uma variação de T x , t = 0,1   ° C ! Agora que deciframos o enunciado, vamos aplicar a equação da distribuição de temperatura:

T x , t -   T i   T s   -   T i = e r f c x 2 α . t

0,1 -   0   55   -   0 = e r f c 0,04 2 1,70 . 10 - 5 . t

0,00182 = e r f c 0,04 2 1,70 . 10 - 5 . t

Da tabela 4-4 a gente descobre que para e r f c 0,04 2 1,70 . 10 - 5 . t =   0,00182 temos que:

0,04 2 1,70 . 10 - 5 . t = 2,206

Portanto, elevando os dois lados ao quadrado, temos que o tempo necessário para o gelo no interior do recipiente começar a derreter é:

t = 4,84   s

Conseguimos a primeira resposta! Muito bem, vocês são feras demais!

Passo 5

Agora vamos para a parte 2 da questão, galera! Vem comigo que falta pouco! Precisamos determinar a taxa de transferência de calor para o gelo através da seção de uma parede de 1,2   m de largura e 2   m de altura quando as condições operacionais permanentes forem atingidas. Resumindo todo esse texto cansativo, queremos a taxa de transferência de calor para o gelo através da seção de área A = 1,2.2 = 2,4   m 2 .

Como não há geração de energia interna dentro do recipiente, podemos determinar essa taxa aplicando o conceito de rede de resistência térmica! Vou fazer um esquema para facilitar a visualização:

Bom, no esquema temos as temperaturas no interior do recipiente T 1 = 0   ° C e no exterior T 2 = 55   ° C . Além disso, temos as 3 resistências presentes na questão, sendo elas, respectivamente, a resistência térmica convectiva interna e externa ao recipiente e da R c o n v , i = 1 h i . A , R c o n v , e =   1 h e . A e a resistência térmica condutiva da parede R P a r e d e =   L k . A onde L = x = 0,04   m .

Passo 6

Falta pouco, galera! Sabemos que a resistência térmica total pode ser calculada por:

R t o t a l =   R c o n v , i +   R P a r e d e + R c o n v , e

Sabendo do enunciado que o coeficiente de transferência de calor na superfície interna do recipiente é h i = 250   W / ( m 2 . K ) e que o coeficiente de transferência de calor externo é muito grande, ou seja, h o → ∞ , temos que a resistência térmica total é:

R t o t a l = 0,00199   ° C / W

Passo 7

Portanto, sabendo que a taxa de transferência de calor pode ser calculada pela equação abaixo, chegamos, finalmente, no resultado final!

Q ˙ = ( T 2 - T 1 ) R t o t a l

Q ˙ = ( 55 - 0 ) 0,00199  

Q ˙ = 27638,2   W

Resposta

Após todos esses passos, temos que resposta da parte 1 é t = 4,84   s e da parte 2 é Q ˙ = 27638,2   W . Parabéns, pessoal! Sem vocês, eu não seria capaz de chegar até o final! Tamo junto nessa e nas próximas!

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