Enunciado

Para aumentar a superfície efetiva, e assim a taxa de reação química, as superfícies dos catalisadores frequentemente apresentam a forma de sólidos porosos. Um desses sólidos pode ser visualizado como constituído por um grande número de poros cilíndricos, cada um com diâmetro D e comprimento L .

Considere condições envolvendo uma mistura gasosa de A e B, na qual a espécie A é consumida quimicamente na superfície do catalisador. Sabe-se que a reação é de primeira ordem e sua taxa por unidade de área da superfície pode ser escrita como k ″ C A , sendo k " 1 ( m / s ) a constante da taxa de reação e C A ( k m o l / m 3 ) a concentração molar local da espécie A. Sob condições de regime estacionário, sabe-se que o escoamento sobre o sólido poroso mantém um valor fixo da concentração molar C A , 0 na entrada do poro. Partindo dos princípios fundamentais, obtenha a equação diferencial que governa a variação de C A com a distância x ao longo do poro. Utilizando condições de contorno apropriadas, resolva a equação para obter uma expressão para C A ( x ) .

Passo 1

Nessa questão nós temos a geometria de poros em um reator catalítico e a concentração de espécies reagentes na abertura dos poros e ordem da reação catalítica.

Com essas informações vamos encontrar a equação diferencial que determina a concentração de espécies reagentes e a distribuição da concentração de espécies reagentes ao longo do poro. Vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

  1. Condições em estado estacionário;
  2. Difusão unidimensional na direção x ;
  3. Meio estacionário;
  4. Concentração molar total uniforme;
  5. Meio estacionário.

Aplicando o requisito de conservação de espécies ao volume de controle diferencial temos,

N A , x + d x = N A , x + d N A , x d x d x

E da lei de Fick,

N A , x = - C D A B d x A d x π D 2 4 = - π D 2 4 D A B d C A d x

Então,

- d N A d x d x - k " 1 C A π D d x = π D 2 4 D A B d 2 C A d x 2 - k " 1 C A π D d x = 0

d 2 C A d x 2 - 4 k " 1 D D A B C A = 0

Passo 3

Uma solução para a equação acima é obtida reconhecendo que ela tem exatamente a mesma forma que a equação de energia para uma superfície estendida de seção transversal uniforme. Portanto, para condições de contorno do formulário

C A 0 = C A , 0

- D A B d C A d x x = L = k " 1 C A L

A solução deve ser análoga à obtida para uma aleta com uma condição de ponta de convecção. Com quantidades análogas,

C A ↔ θ ≡ T - T ∞

m ≡ 4 k " 1 D D A B 1 2 ↔ 4 h D k 1 2

D A B ↔ k

k " 1 ↔ h

Então a solução é,

C A x = cosh ⁡ m ( L - x ) + k " 1 m D A B sen ⁡ m ( L - x )   cosh ⁡ m L + k " 1 m D A B sen ⁡ m L

Resposta

d 2 C A d x 2 - 4 k " 1 D D A B C A = 0

C A x = cosh ⁡ m ( L - x ) + k " 1 m D A B sen ⁡ m ( L - x )   cosh ⁡ m L + k " 1 m D A B sen ⁡ m L

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