Enunciado

Com referência ao Problema 14.34, um modelo mais representativo da respiração em um organismo esférico indica o consumo de oxigênio governado por uma reação de primeira ordem com a forma N ˙ A =   – k 1 C A .

(a) Se uma concentração molar de C A ( r o ) = C A , o for mantida na superfície do organismo, obtenha uma expressão para a distribuição radial do oxigênio, C A ( r ) , no interior do organismo. Sugestão: Para simplificar a solução da equação da difusão da espécie, use a transformação y   ≡   r C A .

(b) Obtenha uma expressão para a taxa de consumo de oxigênio no interior do organismo.

(c) Considere um organismo de raio r o = 0,10   m m e um coeficiente de difusão de D A B =   10 - 8   m 2 / s . Sendo C A , o = 5   x   10 - 5   k m o l / m 3 e k 1 = 20 s - 1 , estime o valor correspondente da concentração molar no centro do organismo. Qual é a taxa de consumo de oxigênio pelo organismo?

Passo 1

Nessa questão nós temos um raio de um organismo esférico e concentração molar de oxigênio em sua superfície e coeficientes de difusão e taxa de reação.

Com isso, vamos encontrar a distribuição radial da concentração de O 2 , a expressão para taxa de consumo de O 2 e a concentração molar a r   =   0 e taxa de consumo de oxigênio para as condições dadas.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Difusão unidimensional em estado estacionário;

(2) Meio estacionário;

(3) Concentração molar total uniforme;

(4) Propriedades constantes ( k 1 ,   D A B ) .

Para as condições e premissas dadas temos,

1 r 2 d d r D A B r 2 d C A d r - k 1 C A = 0

Com,

y   ≡   r   C A

d C A d r = 1 r d y d r     – y r 2

E,

1 r 2 d d r D A B r 2 d C A d r = D A B r 2 d d r r d y d r - y = D A B r 2 r d 2 y d r 2

Passo 3

A equação da espécie é então,

d 2 y d r 2 - k 1 D A B y = 0

E a solução geral é da forma,

y = C 1 senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r + C 2 cosh ⁡ k 1 D A B 1 2 r

Ou,

C A = C 1 r senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r + C 2 r cosh ⁡ k 1 D A B 1 2 r

Passo 4

Como C A deve permanecer finita em r   =   0 ,   C 2 =   0 . Portanto, com C A ( r o ) = C A ,   o ,

C 1 = C A , o r o senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r o

E,

C A = C A , o r o r senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r o

Passo 5

A taxa total de consumo de O 2   corresponde à taxa de difusão na superfície do organismo.

R ˙ = - N A r o = + D A B 4 π r o 2 d C A d r r o

R ˙ = 4 π r o 2 D A B C A , o r o - 1 r o 2 + 1 r o k 1 D A B 1 2 cot ⁡ k 1 D A B 1 2 r o

R ˙ = 4 π r o D A B C A , o ( α coth ⁡ α - 1 )

Onde,

α ≡ k 1 r o 2 D A B 1 2

Passo 6

Para as condições dadas,

k 1 D A B 1 2 = 20 s - 1 10 - 8 m 2 s 1 2 = 44720   m - 1

E,

α = 4,472

C A = 5   x   10 - 5 k m o l m 3 × 10 - 4 m senh ⁡ 4,472 × senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r r = 1,136 × 10 - 10 k m o l m 3 × senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r r

No limite de r   →   0 , a expressão anterior gera,

C A r   →   0 = 5,11 × 10 - 6   k m o l / m 3

R ˙ = 4 π × 10 - 4 m × 10 - 8 m 2 s × 5 × 10 - 5   k m o l / m 3 ( 4,472 coth ⁡ 4,472 - 1 )

R ˙ = 2,18 × 10 - 15   k m o l / s

Resposta

  1. C A = C A , o r o r senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r senh ⁡ k 1 D A B 1 2 r o
  2. R ˙ = 4 π r o D A B C A , o ( α coth ⁡ α - 1 ) ,       α ≡ k 1 r o 2 D A B 1 2
  3. R ˙ = 2,18 × 10 - 15   k m o l / s
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