Enunciado

Um balão de ar quente deve ser projetado para suportar o cesto, as cordas e uma pessoa, totalizando um peso de 1.300 N. O material do balão tem uma massa de 60 g/m2. O ar ambiente está a 25°C e 1 atm. O ar quente dentro do balão está a 70°C e 1 atm. Qual o diâmetro mínimo de um balão esférico que suportará exatamente o peso total? Despreze o tamanho da abertura de entrada de ar quente.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nessa questão temos um balão de ar quente que deve suportar um peso de 1300   N . O enunciado nos afirma que o ar ambiente está a 25 ° C e 1   a t m e o ar quente dentro do balão está a 70 ° C e   1   a t m .

A questão pede que a gente encontre o diâmetro mínimo para que o balão esférico suporte o peso total necessitado.

Pra resolver a questão, precisamos lembrar apenas uma coisa: uma das leis de Arquimedes: “Um corpo flutuante desloca seu próprio peso no fluido em que flutua”. Ou seja, o empuxo agindo em um corpo flutuante é igual ao seu peso.

No entanto, para essa questão, temos uma particularidade: par calcular o empuxo, teremos que encontrar a diferença entre a densidade do ar quente e do ar a temperatura ambiente, ∆ ρ .

Teremos, então, a seguinte equação:

P = E = ∆ ρ g V d e s l

Sendo V d e s l o volume de ar deslocado, que, neste caso, é o volume total do balão, que é calculado como uma esfera.

Nos próximos passos, eu ou te ensinar a calcular essa diferença na densidade e a achar o diâmetro mínimo necessário! Vem comigo!

Passo 2

Para achar as densidades, devemos usar a boa e velha equação dos gases ideais:

ρ = P R T

Sendo P = 1   a t m =   101325 N m 2 , R = 287 N . m k g . K e T a temperatura do ar em K.

Para o ar a 25 ° C ( 298   K ):

ρ f r i o = 101325 N m 2 287 N . m k g . K 298   K = 1,184 k g m 3

Para o ar a 70 ° C ( 298   K ):

ρ q u e n t e = 101325 N m 2 287 N . m k g . K 343   K = 1,029 k g m 3

Passo 3

Agora podemos encontrar o volume do balão a partir da equação que a gente viu no Passo 1:

P = ∆ ρ g V d e s l   → 1300   N = 1,184 k g m 3 - 1,029 k g m 3 9,81   m / s ² V d e s l

V d e s l = 855   m ³

Para descobrir o diâmetro mínimo do balão esférico que suportará esse o peso, basta lembrar que o balão é esférico:

V d e s l = π 6 D 3 → 855   m ³ = π 6 D 3

D = 11,77   m  

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O diâmetro mínimo de um balão esférico que suportará exatamente o peso de 1300   N é D = 11,77   m  

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