Enunciado

A barragem na Figura P2.82 é um quarto de círculo com largura de 50 m. Determine os componentes horizontal e vertical da força hidrostática contra a barragem e o ponto CP em que a resultante atinge a barragem.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma barragem no formato de um quarto de círculo, com um raio de 20   m e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) de 50   m .

A questão quer da gente a distância do ponto do Centro de Pressão (CP) com relação à superfície livre onde a força hidrostática atinge a barragem. Então, a gente tem que entender quais forças estão agindo nela. Pra isso, vamos olhar esse esquema aí embaixo:

Como vocês podem perceber pela figura aí em cima, pra resolver a questão temos que dividir a resultante da força hidrostática em duas componentes: uma horizontal ( F H ) e uma vertical ( F V ).

Nos passos seguintes, vamos descobrir como calcular cada uma das componentes das forças hidrostáticas e a calcular qual é o ponto CP onde ela está aplicada.

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal F H . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base 50   m e altura 20   m . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Dessa forma, temos:

F H = 9790   N m 3 20 2   m   20   m × 50   m = 97,9 × 10 6   N  

Além disso, devemos calcular a linha de aplicação da componente horizontal da força, que podemos chamar de l H . Pra isso, vamos utilizar a equação abaixo:

l H = h C G + I x x s e n θ h C G A p r o j

Sendo: θ o ângulo entre a projeção e a horizontal, que, por definição, é 90°; e I x x o momento de inércia para essa direção.

O momento de inércia I x x de um retângulo, o próprio livro define na página 92 como :

I x x = b L 3 12

Sendo: b a largura do retângulo , ou seja, 50   m ; e L a altura do retângulo, que nesse caso é 20 m. Logo:

I x x = b L 3 12 = 50   m 20   m ³ 12 = 33.333,33   m 4

Calculando então a linha de aplicação, temos:

l H = 10   m + 33.333,33   m 4 s e n ( 90 ° )   10   m 50   m × 20   m = 10   m + 3,33   m = 13,33   m

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água acima da barragem e é dada pela equação:

F V =   γ V á g u a

Sendo V á g u a o volume da água acima da comporta no formato de um quarto de círculo. Sendo assim, temos:

F V =   γ V á g u a = 9790   N m 3 π ( 20   m ) ² 4 × 50   m =   153,78 × 10 6   N  

Pra calcular a linha de aplicação para a componente vertical, basta ir novamente na página 92 e usar a mesma distância do centroide para um semi-círculo. Ou seja, a linha de aplicação l V pode ser calculada como:

l V = 4 R 3 π = 4 × ( 20   m ) 3 π = 8,49   m

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos calcular as coordenadas do ponto CP em relação à superfície livre.

Primeiro, com as duas componentes F H e F V encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular uma resultante F   a partir do módulo dessas componentes:

F =   F H 2 + F V 2 = 97,9 × 10 6   N   2 + 153,78 × 10 6   N 2 = 182,3 × 10 6 N

Podemos, então, representar essa resultante com a imagem:

Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo α entre F V e F :

t g α = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = F H F V = 97,9 × 10 6   N   153,78 × 10 6   N = 0,6366  

→   α = a r c t g 0,6366   = 32,48 °

Agora que a gente já tem esse ângulo, podemos usar relações parecidas considerando as distâncias de aplicação das componentes da força F e o raio R do quarto de círculo para obter o ponto CP.

Sejam x   a coordenada horizontal e y a distância vertical (a partir da superfície livre) de CP. Podemos calcula-las como:

x = R × sen ⁡ α = 20   m × s e n 32,48 ° = 10,74   m

y = R × cos ⁡ α = 20   m × cos ⁡ 32,48 ° = 16,87   m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

As componentes vertical e horizontal da força hidrostática são, respectivamente, F H = 97,9 × 10 6   N   e F V =   153,78 × 10 6   N .

O ponto CP está localizado a 16,87   m da superfície da água e a 10,74   m à direita do quarto de círculo.

Ver Outros Exercícios desse livro

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