Enunciado

Considere um cone circular reto uniforme de densidade d < 1 , flutuando com seu vértice para baixo na água ( d = 1 ) . O raio da base é R e a altura do cone é H . Calcule e coloque em gráfico a estabilidade M G desse cone, na forma adimensional, versus H / R para uma gama de d < 1 .

Passo 1

Fala galera, vem comigo resolver essa questão!!

Queremos calcular e plotar em um gráfico a estabilidade M G - desse cone, na forma adimensional, versus H / R para uma gama de d < 1 . Para que o cone seja estável, precisamos que:

M G - > 0

Para obter M G - , podemos usar a formula 2.37:

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

Em que G é o centróide, M é o metacentro, E é o centro de flutuabilidade, I O é o momento de inércia e v s u b m e r s o é o volume submerso.

Passo 2

Não temos todo os dados para usar a formula diretamente, então, podemos começar usando a ideia de que as forças que atuam verticalmente o mantém em equilíbrio, ou seja, a soma das forças é igual a zero. Assim temos:

∑ F z = γ á g u a V d e s l o c a d o - γ c o n e V c o n e

Aqui, V d e s l o c a d o é o volume de líquido deslocado, V c o n e é o volume do cone, γ á g u a é o peso especifico da água e γ c o n e é o peso especifico do cone.

0 = γ á g u a V d e s l o c a d o - d c o n e γ á g u a V c o n e

V d e s l o c a d o = d c o n e V c o n e

O volume de água deslocado será o volume do cone até a interface. Seja r o raio na do cone na interface, seja h à altura do cone que está submerso, R o raio da base do cone e H a altura do cone.

π 3 r 2 h = d c o n e π 3 R 2 H

r 2 R 2 h H   = d c o n e

Devido ser um cone reto, podemos fazer a seguinte afirmação sobre a relação entre as suas alturas e seus respectivos raios.

h H = r R

Substituindo temos o seguinte:

r 3 R 3   = d c o n e

r R   = d c o n e 3

Para simplificar, podemos dizer que

d c o n e 3 = δ

Passo 3

Agora, usamos a equação 2.37 que falamos no passo 1 para encontrar o metacentro:

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

M G - = I O v s u b m e r s o - G E -

Para esse cone o momento de inércia é dado por

I O = π 4 r 4

E o volume submerso é dado por

v s u b m e r s o = π 3 r 2 h

O centro de gravidade está em 3 H / 4 acima do fundo e E está em 3 h / 4 acima do fundo. Para essa questão a distancia G E - é dada por:

G E - = 3 H 4 - 3 h 4 = 3 ( H - h ) 4

Substituindo, temos:

M G - = π 4 r 4 π 3 r 2 h - 3 ( H - h ) 4

M G - = 3 r 2 4 h - 3 ( H - h ) 4

M G - = 3 4 r 2 h - H + h

Adimensionalizando e substituindo r = R δ e h = H δ , pela relação obtida no passo anterior, temos:

M G - h = 3 4 r 2 H h - 1 + h H

M G - h = 3 4 R 2 δ 2 H H δ - 1 + H δ H

M G - H = 3 4 δ R 2 H 2 - 1 + δ

M G - H = 3 4 δ R H 2 - 1 + δ

Passo 4

Com a equação obtida no passo anterior, podemos plotar um gráfico de M G - / H em função de R / H .

Resposta

Obtemos a função:

M G - H = 3 4 δ R H 2 - 1 + δ

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