Enunciado

Um bastão de latão com 100 mm de comprimento e 5 mm de diâmetro se estende horizontalmente a partir de uma peça a 200°C. O bastão encontra-se em um ambiente com T ∞ = 20 ° C e   h   =   30 W m 2 K . Quais são as temperaturas no bastão a 25, 50 e 100 mm da peça?

Passo 1

Vamos com tudo galerinha ??

Antes de qualquer coisa, como a aleta só possui transferência de calor por convecção nós podemos olhar a Tabela 3.4 e ver o que ela nos diz sobre a distribuição da temperatura:

Como a temperatura máxima se dará quando x = L , então a distribuição da temperatura será:

θ θ b = T ( x ) - T ∞ T b - T ∞ = cosh ⁡ m ( L - x ) + h m k s en h ⁡ m ( L - x ) cosh ⁡ m L + h m k senh ⁡ m L

Lembrando que:

m = h P k A

E sabendo que:

h = 3 0 W m 2 K

T ∞ = 20 ° C + 273 = 293   K

T b = 200 ° C + 273 = 473   K

D = 5   m m = 0,005   m

L = 100   m m = 0,1   m

Não sabemos nada sobre k, certo?

Para isso nós vamos achar a temperatura média do bastão:

T - = T b + T ∞ 2 = 473 ° C + 293 ° C 2 = 383   K

Olhando na Tabela A-1 nós vemos que não há nada nesta temperatura, mas podemos fazer uma interpolação, ok?

T 1 = 200 K →   k 1 = 95 W m K

T 2 = 4 00 K →   k 2 = 137 W m K

Usando a fórmula:

k + k 1 k 2 + k 1 = T + T 1 T 2 + T 1

Substituindo:

k + 95 W m K 137 W m K + 95 W m K = 383   K + 200 K 400 K + 200 K

k = 133 W m K

Agora podemos continuar, não é?

Vamos começar achando m:

m = h P k A = 4 h k D

m = 4 30 W m 2 K 133 W m K 0,005   m = 13,43   m - 1

Na temperatura:

T ( x ) - 293   K 473   K - 293   K = cosh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - x ) + 30 W m 2 K 13,43   m - 1 133 W m K senh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - x ) cosh ⁡ 13,43   m - 1 0,1   m + 30 W m 2 K 13,43   m - 1 133 W m K senh ⁡ 13,43   m - 1 0,1   m

T ( x ) = 293   K + 1,88 × 10 - 3 [ cosh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - x ) + 5,36 × 10 4 senh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - x ) ]

Passo 2

Agora que temos a equação para achar a temperatura nós podemos substituir o x para os valores que nós queremos, ok?

No primeiro caso nós temos x = 25   m m = 0,025   m :

T ( 0,025   m ) = 293   K + 1,88 × 10 - 3 [ cosh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - 0,025   m ) + 5,36 × 10 4 senh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - 0,025   m ) ]

T ( 0,025   m ) = 429,5   K

Em graus Celsius:

T 0,025   m = 156 , 5   ° C

No segundo caso nós temos x = 5 0   m m = 0,0 5   m :

T ( 0,0 5   m ) = 293   K + 1,88 × 10 - 3 [ cosh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - 0,0 5   m ) + 5,36 × 10 4 senh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - 0,0 5   m ) ]

T ( 0,0 5   m ) = 401,9   K

Em graus Celsius:

T 0,05   m = 128,9   ° C

No terceiro caso nós temos x = 10 0   m m = 0,1   m :

T ( 0 , 1   m ) = 293   K + 1,88 × 10 - 3 [ cosh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - 0 , 1   m ) + 5,36 × 10 4 senh ⁡ 13,43   m - 1 ( 0,1   m - 0 , 1   m ) ]

T ( 0,1   m ) = 380   K

Em graus Celsius:

T 0 , 1   m = 107   ° C

Esta foi bem legal !!

Resposta

T 0,025   m = 156,5   ° C

T 0,05   m = 128,9   ° C

T 0,1   m = 107   ° C

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