Enunciado

Aletas circulares de seção transversal uniforme, com diâmetro de 10 mm e comprimento de 50 mm, são fixadas em uma parede com temperatura na superfície de 350 °C. As aletas são feitas de material com condutividade térmica de 240 W / m ⋅ K e são expostas ao ar ambiente condicionado de 25 °C, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 250   W / m 2 ⋅ K . Determine a taxa de transferência de calor e trace a variação de temperatura da única aleta para as seguintes condições de contorno:

  1. Aleta infinitamente longa
  2. Aleta de ponta adiabática
  3. Aleta com temperatura na ponta de 250 °C
  4. Convecção na ponta da aleta

Passo 1

Começamos a questão deixando claro quais são as nossas hipóteses para o problema. Neste caso, temos condução de calor unidimensional e em regime permanente, propriedades térmicas constantes e é desconsiderado o efeito da radiação.

Para esta questão, vamos calcular a taxa de transferência de calor e indicar a equação para a variação de temperatura para cada item primeiramente. Somente ao final dela, iremos traçar em um gráfico todas as distribuições de temperatura.

Portanto, vamos começar determinando parâmetros geométricos necessários para calcularmos o que a questão nos pede. Começando pelo perímetro e área da aleta, temos:

p = π D = π ⋅ 0,01 = 0,031416   m

A = π D 2 4 = π 0,01 2 4 = 7,854 ⋅ 10 - 5   m 2

Continuando com outros parâmetros, temos:

m = h p k A = 250 ⋅ 0,031416 240 ⋅ 7,854 ⋅ 10 - 5 = 20,412   m - 1

h p k A = 250 ⋅ 0,031416 ⋅ 240 ⋅ 7,854 ⋅ 10 - 5 = 0,3848   W / K

Agora já determinarmos os parâmetros que utilizaremos em todos os casos que a questão nos pede.

Passo 2

Vamos começar calculando a taxa de transferência de calor em uma aleta infinitamente longa. Para isto, a fórmula que devemos utilizar é:

Q ˙ = h p k A T b - T ∞ = 0,3848 ⋅ 350 - 25 = 125   W

Já a distribuição de temperatura é dada pela seguinte fórmula:

T x - T ∞ T b - T ∞ = e - m x

Substituindo os valores e isolando T x , temos:

T x - 25 350 - 25 = e - 20,412 ⋅ x

T x = 325 e - 20,412 ⋅ x + 25

E esta é a equação para uma aleta infinitamente longa.

Passo 3

Agora, vamos para o caso de uma superfície com ponta adiabática. Para isto, a fórmula que devemos utilizar é:

Q ˙ = h p k A T b - T ∞ tanh ⁡ m L

Q ˙ = 0,3848 ⋅ 350 - 25 ⋅ tanh ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 = 96,3   W

Já a distribuição de temperatura é dada pela seguinte fórmula:

T x - T ∞ T b - T ∞ = cosh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L

Substituindo os valores e isolando T x , temos:

T x - 25 350 - 25 = cosh ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x cosh ⁡ 1,0206

T x = 207,32 ⋅ cosh ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x + 25

E esta é a equação para uma aleta com ponta adiabática.

Passo 4

Agora, vamos para o caso de uma superfície com temperatura fixa na ponta. Para isto, a fórmula que devemos utilizar é:

Q ˙ = h p k A T b - T ∞ cosh ⁡ m L - T L - T ∞ T b - T ∞ senh ⁡ m L

Q ˙ = 0,3848 ⋅ 350 - 25 ⋅ cosh ⁡ 1,0206 - 250 - 25 350 - 25 senh ⁡ 1,0206 = 90,7   W

Já a distribuição de temperatura é dada pela seguinte fórmula:

T x - T ∞ T b - T ∞ = T L - T ∞ T b - T ∞ senh ⁡ m x + senh ⁡ m L - x senh ⁡ m L

Substituindo os valores e isolando T x , temos:

T x - 25 350 - 25 = 250 - 25 350 - 25 senh ⁡ 20,412 ⋅ x + senh ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x senh ⁡ 1,0206

T x = 2 69,2 ⋅ 0,6923 ⋅ senh ⁡ 20,412 ⋅ x + senh ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x + 25

E esta é a equação para uma aleta com ponta temperatura constante na ponta.

Passo 5

O último caso a analisarmos é a aleta com convecção na ponta. Para isto, a fórmula que devemos utilizar é:

Q ˙ = h p k A T b - T ∞ senh ⁡ m L + h m k cosh ⁡ m L cos h ⁡ m L + h m k sen h ⁡ m L

Q ˙ = 0,3848 ⋅ 350 - 25 ⋅ senh ⁡ 1,0206 + 0,051 ⋅ cosh ⁡ 1,0206 cosh ⁡ 1,0206 + 0,051 ⋅ senh ⁡ 1,0206 = 9 8,8   W

Já a distribuição de temperatura é dada pela seguinte fórmula:

T x - T ∞ T b - T ∞ = cos h ⁡ m L - x + h m k senh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L + h m k senh ⁡ m L

Substituindo os valores e isolando T x , temos:

T x - 25 350 - 25 = cos h ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x + 0,051 ⋅ sen h ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x cosh ⁡ 1,0206 + 0,051 ⋅ senh ⁡ 1,0206

T x = 199,5 ⋅ cosh ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x + 0,051 ⋅ senh ⁡ 20,412 ⋅ 0,05 - x + 25

E esta é a equação para uma aleta com convecção na ponta.

Passo 6

Para finalizarmos a questão, vamos traçar as variações de temperatura para cada um dos casos estudados aqui nesta questão. Desta forma, temos o seguinte gráfico:

E assim, finalizamos a questão!

Resposta

  1. Para uma aleta infitamente longa, a taxa de transferência de calor é:
  2. Q ˙ = 125   W

  3. Para uma aleta com ponta adiabática, a taxa de transferência de calor é:
  4. Q ˙ = 96,3   W

  5. Para uma aleta com temperatura fixa na ponta, a taxa de transferência de calor é:
  6. Q ˙ = 9 0,7   W

  7. Para uma aleta com convecção na ponta, a taxa de transferência de calor é:

Q ˙ = 9 8.8   W

Para finalizarmos, temos o esboço da variação de temperatura para cada um dos casos estudados:

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