Enunciado

Em um bastão longo, com 20   m m de diâmetro e condutividade térmica de 1,5   W / ( m   ·   K ) , há geração de energia térmica volumétrica uniforme de 10 6   W / m 3 . O bastão é coberto com uma luva de isolante elétrico que possui 2   m m de espessura e condutividade térmica de 0,5   W / ( m   ·   K ) . Uma estrutura com 12 hastes retangulares, com as dimensões indicadas na figura, e condutividade térmica de 175   W / ( m   ·   K ) , é usada para sustentar o bastão e mantê-lo no centro de um tubo com 80   m m de diâmetro. Ar a T ∞   =   25 ° C escoa sobre as superfícies das hastes com um coeficiente de transferência de calor igual a 20   W / ( m 2   ·   K ) . A superfície externa do tubo é isolada termicamente.

Desejamos aumentar o aquecimento volumétrico no interior do bastão, mas sem permitir que a temperatura no seu eixo central seja superior a 100 ° C . Determine o impacto das seguintes mudanças, que podem ser efetuadas independentemente ou em conjunto: (i) aumento da velocidade do ar e assim do coeficiente convectivo; (ii) mudança no número e/ou na espessura das hastes; e (iii) uso de uma luva não condutora elétrica com maior condutividade térmica (por exemplo, carbono amorfo ou quartzo). Recomende uma configuração realística que forneça um aumento significativo em q ˙ .

Passo 1

Aqui nós temos uma haste longa com geração volumétrica interna coberta por uma luva isolante eletricamente e apoiada por uma aranha nervurada. Onde o circuito térmico é:

E queremos encontrar uma combinação do coeficiente de convecção, design da aranha e condutividade térmica da luva, que aprimora o aquecimento volumétrico sujeito a uma temperatura máxima da linha central de 100   °   C .

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos considerar que:

(1) Estamos em condição de estado estacionário;

(2) A transferência de calor radial é unidimensional na haste, luva e bastão;

(3) A resistências de contato interfacial é desprezível;

(4) As propriedades são constantes;

(5) A superfície externa é adiabática.

A taxa de aquecimento do sistema por unidade de comprimento pode ser expressa como:

q ' = q ˙ π r o 2 = T 1 - T ∞ R ' l u v a + R ' b a s t ã o + R ' t , o

Onde,

R l u v a ' = ln ⁡ η r o 2 π k s ,     R b a s t ã o ' = ln ⁡ r 2 η 2 π k r = 3,168 × 10 - 4 m . K W   ,   R t , o ' = 1 η o h A t '  

E,

o = 1 - N A f A t 1 - f ,           A f ' = 2 r 3 - r 2 ,           A t ' = N A ' f + 2 r 3 - r 2

f = tanh ⁡ m r 3 - r 2 m   r 3 - r 2 ,               m = 2 h k r t 1 2

A temperatura da linha central da haste está relacionada a T 1 da seguinte forma:

T o = T 0 = T 1 + q ˙ r o 2 4 k

Passo 3

Para condições de caso base de k s   =   0,5   W   /   m ⋅ K ,   h   =   20   W / m 2 ⋅ K ,   t   =   4   m m e N   =   12 , R l u v a ' = 0,0580   m ⋅ K   /   W , R t ,   o '   =   0,0826   m ⋅   K / W ,   η f   =   0,990 ,   q   '   =   387   W   /   m e   q ˙ =   1,23   ×   10 6 W / m 3 . Como mostrado abaixo, q ˙ pode ser aumentado aumentando h , onde h   =   250   W / m 2 ⋅ K representa um limite superior razoável para o fluxo de ar. No entanto, um aumento de mais de 10 vezes em h produz apenas um aumento de 63 % em q ˙ .

A dificuldade é que, aumentando significativamente h , a resistência térmica da matriz de aletas é reduzida para 0,00727   m ⋅ K   /   W , tornando a luva o contribuinte dominante na resistência total.

Passo 4

Resultados semelhantes ao anterior são obtidos quando N e t   são variados. Para valores de   t   =   2 ,   3 e 4   m m , foram consideradas variações de N nas respectivas faixas 12   ≤   N   ≤   26 ,   12   ≤   N   ≤   21 e 12   ≤   N   ≤   17 . O limite superior de N foi fixado exigindo que ( S   -   t )   ≥   2   m m para evitar uma resistência excessiva ao fluxo de ar entre as nervuras. Como mostrado abaixo, o efeito do aumento de N é pequeno e há pouca diferença entre os resultados para os três valores de t .

Passo 5

Em contraste, uma melhoria significativa está associada à alteração do material da luva e é necessário apenas k s   ≈   25   W   /   m ⋅ K (por exemplo, uma luva de boro) para se aproximar de um limite superior à influência de k s .

Para h   =   250   W / m 2 ⋅ K e k s   =   25   W   /   m ⋅ K , apenas uma ligeira melhora é obtida com o aumento de N . Portanto, as condições recomendadas são:

h = 250 W m 2 .   K ,                   k =   25 W m . K ,     N = 12 ,     t = 4 m m

Resposta

(i)

(ii)

(iii)

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