Enunciado

Batatas brancas ( k = 0,50   W / m ⋅ K   e   α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s ) com diâmetro médio de 6   c m , inicialmente a uma temperatura uniforme de 25 ℃ , devem ser resfriadas por ar refrigerado a 2 ℃ fluindo a velocidade de 3   m / s . O coeficiente médio de transferência de calor entre as batatas e o ar é determinado experimentalmente como 19   W / m 2 ⋅ K . Determine o tempo necessário para que a temperatura no centro das batatas diminua para 6 ℃ . Além disso, determine se alguma parte das batatas sofre congelamento durante esse processo de resfriamento.

Passo 1

Coeficiente de transferência de calor: h = 19   W / m 2 ⋅ K

Condutividade térmica: k = 0,50   W / m ⋅ K

Difusividade térmica: α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s

Diâmetro da batata: D = 6   c m = 0,06   m

Raio da batata: r o = 0,0 3   m

Temperatura inicial: T i = 25 ℃

Temperatura do forno: T ∞ = 2 ℃

Temperatura no centro da batata: T t = 6 ℃

Premissas:

A condução de calor na batata é unidimensional por causa da simetria sobre o ponto médio.

As propriedades térmicas da batata são constantes.

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos começar calculando o número de Biot. Assim temos:

B i = h r o k

Aqui,  k é a condutividade térmica das batatas,  r o é o raio da batata esférica e  h é o coeficiente médio de transferência de calor entre a batata e o ar. Substituindo os termos pelos valores fornecidos, temos:

B i = 19   W / m 2 ⋅ K × 0,03   m 0,50   W / m ⋅ K

B i = 1,14

Como o número de Biot é maior que 0,1 , a análise do sistema aglomerado não é aplicável. Com o numero de Biot, podemos encontrar a constantes λ 1 e A 1 na tabela 4-2, “Coeficientes usados ​​no termo único, soluções aproximadas de condução de calor unidimensional transitória em paredes planas, cilindros e esferas”. Usando interpolação, temos:

λ 1 = 1,5708 + 2,0288 - 1,5708 × 1,14 - 1 2 - 1 = 1,635

A 1 = 1 , 2732 + 1,4793 - 1,2732 × 1,14 - 1 2 - 1 = 1,302

Passo 3

Agora, com as constantes encontradas, podemos calcular o número de Fourier usando a seguinte expressão:

θ o , e s f e r a = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui  T o é a temperatura no centro da batata,  T ∞ é a temperatura ambiente,  T i é a temperatura inicial da batata. Substituindo os valores temos:

6 ℃ - 2 ℃ 25 ℃ - 2 ℃ = 1,302 e - 1,635 2 τ

0,1739 = 1,302 e - 2,6732 τ

0,1336 = e - 2,6732 τ

τ = ln ⁡ 0,1336 - 2,6732

τ = 0,753

Isso está acima do valor de 0,2 . Portanto, a solução aproximada de um termo deve ser usada.

Passo 4

Com o número Fourier, podemos calcular o tempo que levará para o centro da batata chegar  6 ℃ . Assim, o tempo é determinado usando a seguinte relação:

t = τ r o 2 α

Aqui,  r o é o raio da batata,  α é a difusividade térmica da batata. Substituindo os termos, temos:

t = 0,753 × 0,03   m 2 0,13 × 10 - 6   m 2 / s

t = 5213,5   s

t = 1   h o r a   e   27   m i n u t o s

Portanto, o tempo necessário para o resfriamento é  1   h o r a   e   27   m i n u t o s .

Passo 5

Possivelmente a temperatura mais baixa pode ocorrer na superfície da batata. Vamos calcular a temperatura na superfície usando a seguinte relação.

θ s , e s f e r a = T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r r o λ 1 r r o

Aqui,  T s é a temperatura na superfície da batata,  T i é a temperatura inicial,  T ∞ é a temperatura de refrigeração, A 1 e λ 1 são as constantes. Na superfície, temos que r = r o , assim, a equação fica:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r o r o λ 1 r o r o

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1

Substituindo os valores conhecido ficamos com a seguinte equação:

T s - 2 ℃ 25 ℃ - 2 ℃ = 1,302 e - 1,635 2 × 0,753 × sen ⁡ 1,635 1,635

T s = 2 ℃ + 23 ℃ × 0,10615

T s = 4,44 ℃

Para o que haja congelamento, a temperatura na parte mais fria da batata deve estar abaixo de 0 ℃ , como a temperatuma mais baixa calculada foi de 4,44 ℃ , não ocorre congelamento em nenhuma parte da batata.

Resposta

t = 1   h o r a   e   27   m i n u t o s

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