Enunciado

Uma carcaça bovina ( k = 0,47   W / m ⋅ K   e   α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s ) de 65   k g , inicialmente a uma temperatura uniforme de 37 ℃ , deve ser resfriada com ar refrigerado a - 10 ℃ fluindo a uma velocidade de 1,2   m / s . O coeficiente médio de transferência de calor entre a carcaça e o ar é 22   W / m 2 ⋅ K . Trate a carcaça como um cilindro de 24   c m de diâmetro e 1,4   m de altura e, ignorando a transferência de calor a partir das superfícies da base e do topo, presuma quanto tempo é necessário pra que a temperatura no centro da carcaça diminua para 4 ℃ . Além disso, determine se alguma parte da carcaça congelará durante esse processo.

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro da carcaça bovina: D = 24   c m = 0 , 24   m

A condutividade térmica da carcaça bovina:  k = 0,47   W / m ⋅ K  

Difusividade térmica da carcaça bovina: α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente médio de transferência de calor: h = 22   W / m 2 ⋅ K

Temperatura inicial da carcaça bovina: T i = 37 ℃

Temperatura do ar: T ∞ = - 10 ℃

Temperatura final no centro da carcaça bovina: T o = 4 ℃

Passo 2

A condução de calor na carcaça é unidimensional na direção radial devido à simetria em torno da linha central.

Vamos começar calculando o número da Biot. Assim temos:

B i = h r o k

Aqui,  h é o coeficiente de transferência de calor entre a carcaça e o ar,  r o é o raio externo da carcaça e  k é a condutividade térmica da carcaça. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

B i = 22   W / m 2 ⋅ K × 0,12   m 0,47   W / m ⋅ K

B i = 5,62

Passo 3

Agora, precisamos determine os coeficientes utilizados na solução aproxima do termo da condução de calor transiente unidimensional para um cilindro com número de Biot  5,62 usando a fórmula de interpolação.

Para encontrar λ 1 , podemos interpolar linearmente os valores do coeficiente entre 5 e 6 para obter valor em 5,62 da tabela 4-2 para um cilindro.

λ 1 = 1 , 9898 + 2,0490 - 1,9898 × 5,62   - 5 6 - 5

λ 1 = 2,0263

Para encontrar A 1 , podemos interpolar linearmente os valores do coeficiente entre 5 e 6 para obter valor em 5,62 da tabela 4-2 para um cilindro.

A 1 = 1 , 5029 + 1,5253 - 1,5029 × 5,62   - 5 6 - 5

A 1 = 1 , 5167

Passo 4

Podemos calcular o número de Fourier usando a solução para condução transiente unidimensional em um cilindro submetido a convecção em todas as superfícies. Como estamos interessados no centro do cilindro podemos usar a relação simplifica (4-27). A equação é a seguinte:

θ o , c i l i n d r o = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os termos da equação pelos valores conhecido temos:

4 ℃ - - 10 ℃ 37 ℃ - - 10 ℃ = 1,5167 × e - 2,0263 2 τ

0,2979 = 1,5167 × e - 4,106 τ

τ = ln ⁡ 0,1964 - 4,106

τ = 0,3964

Temos que τ  é maior que 0,2 e, portanto, a solução de um termo é aplicável.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o tempo de resfriamento usando a seguinte expressão:

τ = α t r o 2

Reescrevendo ela isolando o tempo, temos:

t = τ r o 2 α

Aqui  α é a difusividade térmica e r o é o raio. Substituindo os termos da equação pelos dados conhecido, temos:

t = 0,3964 × 0,12   m 2 0,13 × 10 - 6   m 2 / s

t = 43909,5   s

t ≅ 12   h o r a s   e   12   m i n u t o s

Portanto, o tempo é necessário pra que a temperatura no centro da carcaça diminua para 4 ℃ é  12   h o r a s   e   12   m i n u t o s .

Passo 6

A temperatura mais baixa durante o resfriamento ocorrerá na superfície e é determinada como sendo:

θ c i l i n d r o = T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ J o ( λ 1 r / r o )

Como estamos interessados na superfície, r = r o , logo:

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ J o λ 1 r o r o

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ J o ( λ 1 )

Temos também que:

T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo na equação, temos:

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = T o - T ∞ T i - T ∞ × J o ( λ 1 )

T ( r , t ) - T ∞ = T o - T ∞ × J o ( λ 1 )

T ( r , t ) = T ∞ + T o - T ∞ × J o ( λ 1 )

Podemos encontra o valor de J o ( λ 1 ) na tabela 4-3. Por meio de interpelação, temos que:

J o 2,0263 = 0,2239 + 0,1666 - 0,2239 × 2,0263   - 2 2,1 - 2

J o 2,0263 = 0,2088

Substituindo os termos pelos dados conhecidos, temos:

T ( r , t ) = T ∞ + T o - T ∞ × J o ( λ 1 )

T ( r , t ) = - 10 ℃ + 4 ℃ - - 10 ℃ × 0,2088

T ( r , t ) = - 7,08 ℃

Abaixo da temperatura de congelamento de - 1,7 ℃ . Portanto, a parte externa da carcaça de carne congelará durante esse processo de resfriamento.

Resposta

t ≅ 12   h o r a s   e   12   m i n u t o s

T ( r , t ) = - 7,08 ℃

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