Enunciado

Considere o escoamento em espiral de linha em vórtices/sumidouros no plano x y ou r θ , conforme esboçado na Fig. P9–17. As componentes cilíndricas bidimensionais da velocidade ( u r ,   u θ ) para esse campo de escoamento são u r = C 2 π r e u θ = Ӷ 2 π r , onde C e Ӷ são constantes (m é negativo e Ӷ é positiva). Transforme esses componentes de velocidade cilíndrica bidimensional em componentes de velocidade cartesiana bidimensional ( u ,   v ) . Sua resposta final não deve conter r ou θ - apenas x e y. Como uma verificação de sua álgebra, calcule V 2 usando coordenadas cartesianas e compare com V 2 obtido a partir dos componentes de velocidade fornecidos em componentes cilíndricos.

Passo 1

Faaaaala galerinhaa!!

Animados para seguir?

Já estamos carecas de saber que:

u r = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ

u θ = - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ

De maneira análoga nós podemos obter as componentes cartesianas, lembrando que aqui a componente da direção x será u r e na direção y será u θ :

u = u r . cos ⁡ θ - u θ sen ⁡ θ

v = u r . sen ⁡ θ + u θ . cos ⁡ θ

Já sabemos que:

u r = C 2 π r

u θ = Ӷ 2 π r

Substituindo:

u = C 2 π r . cos ⁡ θ - Ӷ 2 π r sen ⁡ θ

v = C 2 π r . sen ⁡ θ + Ӷ 2 π r . cos ⁡ θ

Aqui nós ainda temos o r e o θ , então devemos dar um jeito para transformá-los em x e y.

Para remover estas coordenadas teremos que relembrar de três equações dadas ao longo do capítulo:

r 2 = x 2 + y 2

x = r . cos ⁡ θ     →   cos ⁡ θ = x r  

y = r . sen ⁡ θ     →   sen ⁡ θ = y r

Colocando nas equações e seno e o cosseno:

u = C 2 π r x r - Ӷ 2 π r y r     →     u = C x 2 π r 2 - Ӷ y 2 π r 2

v = C y 2 π r 2 + Ӷ x 2 π r 2

E agora podemos substituir o r:

u = C x 2 π ( x 2 + y 2 ) - Ӷ y 2 π ( x 2 + y 2 ) = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y

v = C y 2 π ( x 2 + y 2 ) + Ӷ x 2 π ( x 2 + y 2 ) = 1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x

Sendo assim:

u r ,   u θ = C 2 π r ,   Ӷ 2 π r

u ,   v = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y ,   1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x

Passo 2

Precisamos achar a V 2 , certo?

Em termos cartesianos:

V 2 = u 2 + v 2

Substituindo:

V 2 = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y 2 + 1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x 2

V 2 = 1 4 π 2 x 2 + y 2 2 C x - Ӷ y 2 + C y + Ӷ x 2

V 2 = 1 4 π 2 x 2 + y 2 2 C x 2 - 2 C x Ӷ y + Ӷ y 2 + 2 C x Ӷ y + Ӷ x 2

V 2 = 1 4 π 2 x 2 + y 2 2 C 2 x 2 + y 2 + Ӷ 2 x 2 + y 2

V 2 = C 2 + Ӷ 2 4 π 2 ( x 2 + y 2 )

Em coordenadas cilíndricas:

V 2 = u r 2 + u θ 2

Substituindo:

V 2 = C 2 π r 2 + Ӷ 2 π r 2

V 2 = C 2 + Ӷ 2 4 π 2 r 2

Sabemos que:

r 2 = x 2 + y 2

Então:

V 2 = C 2 + Ӷ 2 4 π 2 ( x 2 + y 2 )

Então tá tudo certinho, não é?

Bora continuar?

Resposta

u ,   v = 1 2 π x 2 + y 2 C x - Ӷ y ,   1 2 π x 2 + y 2 C y + Ӷ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o campo de escoamento representado pela função potencial φ = x 6 - 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 - y 6 . Verifique se esse é um escoamento incompressível, e determine a função de corrente correspo
Considere o campo de escoamento representado pela função potencial φ = x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 - x 2 + y 2 . Verifique se esse é um escoamento incompressível, e determine a função de corrente corre
Considere o campo de escoamento formado pela combinação de um escoamento uniforme no sentido positivo de x e um sorvedouro localizado na origem. Seja U = 50m / s e q = 90m 2 / s . Use um volume de con
Mostre que qualquer função diferenciável f ( z ) do número complexo z = x + i y conduz a um potencial válido (a parte real de f ) e a uma função de corrente correspondente (a parte negativa imaginária
Considere o campo de escoamento representado pelo potencial de velocidade φ = A x + B x 2 - B y 2 , em que A = 1 m - 1 . s - 1 , B = 1 m - 1 . s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Obtenha exp