Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Um bloco desliza para baixo em uma parede longa, reta, inclinada, com a velocidade  V , sobre um filme fino de óleo de espessura  h  (Figura P9-113). O peso do bloco é  W , e sua área de contato com a filme de óleo é  A . Suponha que  V  seja velocidade medida, e  W A , o ângulo α e a viscosidade µ também sejam conhecidos. A espessura h do filme de óleo não é conhecida.  a Encontre uma expressão analítica exata para  h  como uma função dos parâmetros conhecidos  V A W , α  e  µ b Use análise dimensional para gerar uma expressão adimensional para  h  como uma função dos parâmetros dados. Construa uma relação entre seus Π s que corresponda à expressão analítica exata da parte a .

Passo 1

Fala galera !!!

(a) Para resolver essa questão, precisamos supor que o fluxo seja incompressível, constante, newtoniano, laminar, paralelo e totalmente desenvolvido. Posemos desenhar o seguinte o diagrama do corpo livre do bloco.

Passo 2

Agora, vamos tomar a condição de equilíbrio das forças resultantes para dizer que

∑ F x = 0

Ou seja:

W sen ⁡ α - τ A = 0

Nos temos que τ é dados por μ V / h . Log, temos que:

W sen ⁡ α - μ V h A = 0

W sen ⁡ α = μ V h A

h = μ V A W sen ⁡ α

Portanto, a expressão para a espessura do óleo é

h = μ V A W sen ⁡ α

Passo 3

(b) Agora, queremos gerar uma expressão adimensional para h  como uma função dos parâmetros fornecidos. Existem seis parâmetros nesse problema, ou seja, n = 6 .

Os seis parâmetros são:

Espessura do filme de óleo: h

Velocidade: V

Área: A

Peso: W

Ângulo: α

Viscosidade dinâmica: μ

Passo 4

Aqui, o parâmetro  h é uma função de outros cinco parâmetros.

h = f V ,   A ,   W ,   α ,   μ

Agora, vamos escrever a dimensão primária de cada parâmetro.

Dimensão primária da espessura do filme:

h = L

Dimensão primária da velocidade:

V = L t - 1

Dimensão primária da área:

A = L 2

Dimensão primária do peso:

W = m L t - 2

Dimensão primária do ângulo:

α = m 0 L 0 t 0

Dimensão primária da viscosidade:

μ = m L - 1 t - 1

O número de dimensões primárias representadas no problema é 3 m ,   L ,   t , então, como primeiro palpite,  j  é o primeiro conjunto igual a três j = 3 .

Passo 5

Se esse valor de  j  estiver correto, o número Π ' s  previsto pelo teorema de Buckingham é

k = n - j

k = 6 - 3

k = 3

Desde que j = 3 , temos que escolher três parâmetros repetidos. Com base nas diretrizes para a seleção de parâmetros repetidos, vamos escolher V , A e μ .

Passo 6

Agora, vamos combinar esses parâmetros repetidos com os outros parâmetros restantes a serem criados Π ' s . Antes de tudo, um independente Π 1  é gerado usando a variável independente  h .

Independente Π 1 :

Π 1 = h V a 1 A b 1 μ c 1                   E q .   1

Temos que a dimensão primária de  Π 1 é:

Π 1 = m 0 L 0 t 0

Substituindo as dimensões de casa parâmetro na equação 1, temos:

m 0 L 0 t 0 = L L t - 1 a 1 L 2 b 1 m L - 1 t - 1 c 1

m 0 L 0 t 0 = L L a 1 t - a 1 L 2 b 1 m c 1 L - c 1 t - c 1

Agora, vamos igualar os expoentes de cada dimensão primária independentemente para encontrar os valores de a 1 , b 1 e c 1 . Assim, temos:

Massa

m 0 = m c 1

0 = c 1

c 1 = 0

Tempo

t 0 = t - a 1 t - c 1

0 = - a 1 - c 1

0 = - a 1 - 0

a 1 = 0

Comprimento

L 0 = L L a 1 L 2 b 1 L - c 1

0 = 1 + a 1 + 2 b 1 - c 1

0 = 1 + 0 + 2 b 1 - 0

b 1 = - 1 / 2

Com a 1 , b 1 e c 1 encontrados, vamos substituir na equação 1. Assim temos:

Π 1 = h V a 1 A b 1 μ c 1

Π 1 = h V 0 A - 1 / 2 μ 0

Π 1 = h A - 1 / 2

Portanto, temos que:

Π 1 = h A

Passo 7

Agora, vamos gerar Π 2 independente usando a variável independente  W .

Π 2 = W V a 2 A b 2 μ c 2                   E q .   2

Temos que a dimensão primária de  Π 2 é:

Π 2 = m 0 L 0 t 0

Substituindo as dimensões de casa parâmetro na equação 2, temos:

m 0 L 0 t 0 = m L t - 2 L t - 1 a 2 L 2 b 2 m L - 1 t - 1 c 2

m 0 L 0 t 0 = m L t - 2 L a 2 t - a 2 L 2 b 2 m c 2 L - c 2 t - c 2

Agora, vamos igualar os expoentes de cada dimensão primária independentemente para encontrar os valores de a 2 , b 2 e c 2 . Assim, temos:

Massa

m 0 = m m c 2

0 = 1 + c 2

c 2 = - 1

Tempo

t 0 = t - 2 t - a 2 t - c 2

0 = - 2 - a 2 - - 1

0 = - a 2 - 1

a 2 = - 1

Comprimento

L 0 = L L a 2 L 2 b 2 L - c 2

0 = 1 + - 1 + 2 b 2 - - 1

0 = 2 b 2 + 1

b 2 = - 1 / 2

Com a 2 , b 2 e c 2 encontrados, vamos substituir na equação 2. Assim temos:

Π 2 = W V a 2 A b 2 μ c 2

Π 2 = W V - 1 A - 1 / 2 μ - 1

Portanto, temos que:

Π 2 = W μ V A

Passo 8

Agora, vamos gerar Π 3 independente usando a variável independente  α .

Π 3 = W V a 3 A b 3 μ c 3                   E q .   3

Temos que a dimensão primária de  Π 3 é:

Π 2 = m 0 L 0 t 0

Substituindo as dimensões de casa parâmetro na equação 2, temos:

m 0 L 0 t 0 = m 0 L 0 t 0 L t - 1 a 3 L 2 b 3 m L - 1 t - 1 c 3

m 0 L 0 t 0 = m 0 L 0 t 0 L a 3 t - a 3 L 2 b 3 m c 3 L - c 3 t - c 3

Agora, vamos igualar os expoentes de cada dimensão primária independentemente para encontrar os valores de a 3 , b 3 e c 3 . Assim, temos:

Massa

m 0 = m 0 m c 3

0 = 0 + c 3

c 3 = 0

Tempo

t 0 = t 0 t - a 3 t - c 3

0 = 0 - a 3 - 0

0 = - a 3

a 2 = 0

Comprimento

L 0 = L 0 L a 3 L 2 b 3 L - c 3

0 = 0 + 0 + 2 b 3 - 0

0 = 2 b 3

b 3 = 0

Com a 3 , b 3 e c 3 encontrados, vamos substituir na equação 3. Assim temos:

Π 3 = α V a 2 A b 2 μ c 2

Π 3 = α V 0 A 0 μ 0

Portanto, temos que:

Π 3 = α

Passo 9

Das equações de Π 1 , Π 2 e Π 3 a relação sem dimensão é:

h A = f W μ V A ,   α                          

Para colocar o Π ' s da equação acima na forma da equação encontrada na letra a , podemos fazer o seguinte:

Π 1 = 1 Π 2 sen ⁡ Π 3

Substituindo pelos resultados encontrados, temos:

h A = 1 W μ V A sen ⁡ α

h = μ V A W sen ⁡ α

Assim, vemos que a análise dimensional é realmente consistente com a solução exata. Obviamente, não poderíamos conhecer o relacionamento da equação acima apenas pelo raciocínio dimensional.

Portanto, a relação entre o  Π ' s é:

Π 1 = 1 Π 2 sen ⁡ Π 3

Resposta

(a)

h = μ V A W sen ⁡ α

(b)

Π 1 = 1 Π 2 sen ⁡ Π 3

Exercícios de Livros Relacionados

13 – Um pequeno tanque de peixes é aproximado por um formato de semico
É dada a função de corrente Ψ = x 2 + 2 x y + 4 t 2 y . No instante t
No estudo analítico de um furacão, admitiu-se que o escoamento resulte
Seja um meteorito que penetra na atmosfera. Admitir em primeira aproxi
Num plano, o escoamento de um fluido é definido por: v x = v 0 x + a t