Enunciado

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Uma bola de beisebol pesa 145 g e tem 7,35 cm de diâmetro. Ela cai do repouso de uma torre de 35 m de altura ao nível do mar, aproximadamente. Admitindo um coeficiente de arrasto para escoamento laminar, (a) calcule a velocidade terminal da bola e (b) verifique se ela alcançará 99% de sua velocidade terminal antes de atingir o solo.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Então vou mostrar pra vocês que mecânica dos fluidos não é nem de longe um bicho de 7 cabeças (nem de perto também)!

(a) Vamos lá, essa questão é mais trabalhosa do que difícil!!!! Então bora que bora!!

Primeira coisa que vou fazer é pedir pra você pegar as propriedades do ar no nível do mar, show?

ρ = 1,225   k g / m ³

μ = 1,78   x   10 - 5   k g / ( m . s )

E da tabela 7.3 para essa situação de uma bola de beisebol a gente vai obter que C D ≈ 0,47

Como é mesmo a equação da velocidade terminal?

V f i n a l = 2 W C D ρ A = 2 m g C D ρ π 4 D 2 = 2 0,145 9,81 0,47 1,225 π 4 0,0735 2 = 34,1   m / s

Passo 2

(b) Se você olhar temos uma constante que nos dá o histórico de velocidade e de deslocamento que é:

C = 3 g C D S - 1 4 S 2 D 1 2

Onde

ρ b o l a = m v = 0,145 π 6 D 3 = 697,4   k g / m ³

S = ρ b o l a ρ a r = 697,4 1,225 = 569

C = 3 9,81 0,47 569 - 1 4 569 2 0,0735 1 2 = 0,287   s - 1

V = V f tanh ⁡ C t

V = 34,1 tanh ⁡ 0,287 t

Vamos dar uma checada rapidinha no valor de Reynold máximo desse problema!!

R e D m á x = ρ V f i n a l D μ = 1,225 34,1 0,0735 1,78   x   10 - 5 = 172000   O K ,   C D ≈ 0,47

Passo 3

Agora o que a gente vai fazer? Bem, a gente pode tentar calcular qual será o tempo necessário para percorrer 35 m. Como?

Bem, a gente pode escrever na forma de uma integral!!!

Z = 35 = ∫ V d t = 34,1 0,287 ln ⁡ [ c o s h 0,287 t ]

t = 2,81   s

Portanto, para V = 34,1   t a n h ⁡ ( 0,287 t ) quando t = 2,81 s

V Z = 35   m = 34,1 tanh ⁡ 0,287 2,81 = 22,8   m / s

Resposta

  1. 34,1   m / s
  2. 22,8   m / s

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