Enunciado

Uma bola de tênis de mesa tem massa de 2,6 g e diâmetro de 3,81 cm. A bola será golpeada horizontalmente a uma velocidade inicial de 20 m/s quando estiver a 50 cm acima da mesa, como na Figura P7.111. Para ar ao nível do mar, que rotação (spin), em rpm, fará a bola tocar a extremidade oposta da mesa a 4 m de distância? Faça um cálculo analítico aproximado, usando a Figura P7.108, e leve em conta o fato de que a bola desacelera durante sua trajetória.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos uma bola de beisebol girando a uma velocidade angular desconhecida. Ela parte a uma velocidade inicial V 0 = 20   m / s .

A bola tem peso P = 0,025   N e diâmetro D = 0,0381   m e descreve uma trajetória horizontal de ∆ x = 4   m

Vamos considerar que essa bola descreve uma seção circular de ângulo θ   e raio r , que pode ser enxergada no esquema abaixo que fizemos pra te orientar:

Sendo V m é d a velocidade média da bola indo de t = 0 até o momento que ela cai no chão em t = 0,25   s .

O enunciado nos pede pra calcular a velocidade angular ω da bola, e pra isso nós vamos usar suas forças de arrasto e sustentação.

Antes de irmos para os próximos passos, temos que lembrar que as propriedades do ar a temperatura ambiente são ρ = 1,2   k g / m ³ e μ = 1,8 × 10 - 5   P a ∙ s .

Então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Vamos então calcular as forças de arrasto F A e de sustentação F S com base na velocidade inicial V 0 .

Como nos Problemas 7.108 e 7.110, a gente teria que ir no gráfico da figura 7.108. Mas como não temos a velocidade angular, podemos só estimar o coeficiente de arrasto em C A ≈ 0,5 e deixar a força de sustentação F S em função de C S , que iremos descobrir em breve.

F A = C A ρ 2 V 0 2 π 4 D 2 = 0,5 1,2 k g m 3 2 20 m / s 2 π 4 0,0381   m 2 = 0,13     N

F S = C S ρ 2 V 0 2 π 4 D 2 = C S 1,2 k g m 3 2 20   m / s 2 π 4 0,0381   m 2 = 0,27 C S

Podemos então calcular a desaceleração horizontal a x será basicamente dada pela força de arrasto, a que age na direção horizontal:

a x =   - F A P g = - 0,13   N 0,025   N   9,81 m s 2 = - 51   m / s ²

Passo 3

Agora, vamos calcular as propriedades geométricas do arco circular. Pra isso,dê uma olhada na figura exposta no Passo 1. Pra achar r e θ vamos olhar pras seguintes relações trigonométricas:

sen ⁡ θ = ∆ x r → r sen ⁡ θ = 4   m

∆ r 1 - cos ⁡ θ = 0,5   m

Resolvendo esse sistema de equações pra r e θ , temos:

r = 16,25   m

θ = 14,25 °

Passo 4

Agora, vamos usar a x pra calcular a velocidade na qual a bola toca o chão, que ocorre a aproximadamente t = 0 , 2 5   s . Sendo assim, sua velocidade final é aproximadamente de 12   m / s .

Portanto, nossa velocidade média será V m é d = 2 0   m s + 12 m s 2 = 16   m / s . Com ela e com r   podemos encontrar a aceleração vertical a y   da bola:

V m é d 2 r = a y → a y = 15,75   m / s ²

Outra forma de calcular a y é usando a força de sustentação:

a y =   g + F A P g

Dessa forma, podemos usar a y pra calcular o coeficiente de sustentação C S :

15,75 m s 2 = 9,81 m s 2 + 0,27 C S 0,025   N 9,81 m s 2

C S = 0,06

Passo 5

Agora vamos finalizar a questão usando o valor de C S como valor de entrada na Figura P7.108 pra calcular ω R V :

Com o valor de ω R / V m é d podemos achar o valor da velocidade angular:

ω R V m é d = 0,6 = ω 0,0381   m / 2 16   m / s  

ω = 500 r a d s = 4800   r p m

Pronto, matamos o problema juntos!

Resposta

A rotação que fará a bola tocar a extremidade da mesa é ω = 4800   r p m

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