Enunciado

Uma esfera de madeira (d = 0,65) é ligada por uma barra delgada a uma articulação em um túnel de vento, como na Figura P7.112. Ar a 20ºC e 1 atm escoa e faz a esfera levitar. (a) Plote a variação do ângulo u com o diâmetro d da esfera na faixa 1 cm

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos uma esfera de madeira de massa específica ρ S = 650   k g / m ³ ligada por uma barra de comprimento L = 0,5   m   a uma articulação em um túnel de vento com ar escoando a uma velocidade de U = 12   m / s , como mostra a figura que ilustra a questão.

A questão quer que a gente plote um gráfico entre o ângulo θ e o diâmetro d da esfera. Nos próximos passos, eu vou te mostrar como encontrar uma expressão relacionando as duas grandezas e como plotar esse gráfico.

Mas antes da gente ir pro Passo 2, vamos lembrar que para o ar à temperatura ambiente, a massa específica será ρ a r = 1,2 k g m 3 e a viscosidade será μ a r = 1,8 ×   10 - 5 P a ∙ s .

Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!

Passo 2

Antes de seguir na resolução, dê uma olhada nesse esquema aí embaixo:

Como vocês podem ver, temos duas forças agindo nesse sistema: a força peso da esfera W e a força de arrasto F A . Elas podem ser calculadas como:

W = ρ S g π 6 d ³

F A = C A ρ 2 U 2 π 4 d ²

Podemos então fazer um balanço de momento com relação à articulação. Vamos supor o sistema em equilíbrio, ou seja, M = 0 .

Além disso, sabemos que as distâncias dos pontos de aplicação das forças à articulação devem ser computadas utilizando relações trigonométricas simples.

Dessa maneira, teremos:

M = 0 = F A L sen ⁡ θ - W L cos ⁡ θ

Vamos substituir as expressões de W e F A :

C A ρ 2 U 2 π 4 d ² L sen ⁡ θ = ρ S g π 6 d ³ L cos ⁡ θ

Reorganizando e isolando θ :

tg ⁡ θ = ρ S g π 6 d ³ C A ρ 2 U 2 π 4 d ² = 49,1 d C A

θ =   tg - 1 ⁡ 49,1 d C A

Passo 3

Agora vamos responder a letra (a).

Basicamente, o que vamos fazer aqui é calcular os números de Reynolds em função dos diâmetros da esfera e com os valores de Reynolds ir na Figura 7.16 (b), na página 492, e calcular o valor de C A . Vamos repetir isso pra toda faixa analisada.

O número de Reynolds em função do diâmetro da esfera é dado por:

R e d = ρ U d μ = 1,2 12 d 1,8 × 10 - 5 = 8 × 10 5 d

Vamos analisar essas equações pra esferas de diâmetros de 1   c m , 5   c m , 10   c m e 15   c m . Pra demostrar os cálculos que vamos fazer, vou te mostrar como fazer pra esfera de 1   c m .

Primeiro, vamo calcular o Número de Reynolds:

R e d = 8 × 10 5 0,01   m = 8000

Vamos agora na Figura 7.16 (b):

Ou seja, nesse caso C A ≈ 0,5 . Vamos agora calcular o valor de θ :

θ =   tg - 1 ⁡ 49,1 0,01   m 0,5 = 44 , 5 °

Repetindo esses passos pros outros valores de diâmetro, podemos traçar o gráfico abaixo:

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O gráfico plotado é

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