Enunciado

Uma bomba de fluxo axial é necessária para fornecer 0,75 m3/s de água com uma altura de carga de 15 J/kg. O diâmetro do rotor é 0,25 m e ele será acionado a 500 rpm. O protótipo deve ser modelado em um pequeno dispositivo de teste com potência 2,25 kW a 1000 rpm. Para a condição de desempenho semelhante entre protótipo e modelo, calcule a altura de carga, a vazão volumétrica e o diâmetro do rotor do modelo.

Passo 1

Neste problema será necessário obter os parâmetros adimensionais característicos do problema e a partir deles, por meio de semelhança dinâmica, relacionar a altura de carga, vazão volumétrica e diâmetro do rotor.

Para resolver o problema será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Como parâmetros conhecidos têm:

- diâmetro rotor do protótipo: D p = 0,25   m ;

- vazão do protótipo: Q p = 0 , 75   m 3 / s ;

- rotação do protótipo: ω p = 500   r p m ;

- altura de carga do protótipo: h p = 15   J / k g ;

- potência do modelo: P m = 2,25   k W ;

- rotação do modelo: ω m = 1000   r p m .

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais conforme apresentados no enunciado: potência ( P ), velocidade angular ( ω ), vazão ( Q ), diâmetro da hélice ( D ), altura de carga ( h ), massa específica ( ρ ) e viscosidade ( μ ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 7

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- P = M ∙ L 2 t 3

- ω = 1 t

- Q = L 3 t

- D = L

- h = L 2 t 2

- ρ = M L 3

- μ = M L ∙ t

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste problema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , ω e D , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 7 - 3 = 4   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = P ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L 2 t 3 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     2 - 3 a + c = 0

t :   - 3 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 3

c = - 5

Logo:

π 1 = P ∙ ρ - 1 ∙ ω - 3 ∙ D - 5

De forma que π 1 vale:

π 1 = P ρ ∙ ω 3 ∙ D 5

- π 2

π 2 = Q ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L 3 t ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     3 - 3 a + c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 1

c = - 3

Logo:

π 2 = Q ∙ ρ 0 ∙ ω - 1 ∙ D - 3

De forma que π 2 vale:

π 2 = Q ω ∙ D 3

- π 3

π 3 = h ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L 2 t 2 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     2 - 3 a + c = 0

t :   - 2 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 2

c = - 2

Logo:

π 3 = h ∙ ρ 0 ∙ ω - 2 ∙ D - 2

De forma que π 3 vale:

π 3 = h ω 2 ∙ D 2

- π 4

π 4 = μ ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L t ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :   - 1 - 3 a + c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 1

c = - 2

Logo:

π 4 = μ ∙ ρ - 1 ∙ ω - 1 ∙ D - 2

De forma que π 4 vale:

π 4 = μ ρ ∙ ω ∙ D 2

Passo 7

A potência do protótipo pode ser calculada por:

P p = ρ ∙ Q ∙ h = 1000 × 0,75 × 15 = 11 , 25   k W

Tendo os valores da potência e velocidade de rotação do modelo e protótipo é possível realizar a semelhança dinâmica do π 1 para obter o diâmetro do modelo:

π 1 m = π 1 p

P m ρ m ∙ ω m 3 ∙ D m 5 = P p ρ p ∙ ω p 3 ∙ D p 5

Logo, o diâmetro do modelo pode ser escrito como:

D m 5 = D p 5 ρ p ρ m ω p 3 ω m 3 P m P p

D m = D p ρ p ρ m 1 5 ω p ω m 3 5 P m P p 1 5

Sendo modelo e protótipo com mesmo fluido ( ρ p = ρ m ) e utilizando valores numéricos conhecidos:

D m = 0,25 × 500 1000 3 5 × 2,25 11,25 1 5

Logo, o diâmetro do modelo é de:

D m = 0,12   m

Passo 8

Tendo as informações de diâmetro e velocidade de rotação do modelo e protótipo é possível calcular a vazão do modelo segundo a semelhança dinâmica do adimensional π 2 :

π 2 m = π 2 p

Q m ω m ∙ D m 3 = Q p ω p ∙ D p 3

Logo, a vazão modelo pode ser escrita como:

Q m = Q p ω m ω p D m 3 D p 3

Utilizando os valores numéricos conhecidos:

Q m = 0,75 × 1000 500 0,12 0,25 3

Logo, a vazão do modelo vale:

Q m = 0,166   m 3 / s

Passo 9

Tendo as informações de diâmetro e velocidade de rotação do modelo e protótipo é possível calcular a altura de carga do modelo segundo a semelhança dinâmica do adimensional π 3 :

π 3 m = π 3 p

h m ω m 2 ∙ D m 2 = h p ω p 2 ∙ D p 2

Logo, a altura de carga do modelo pode ser escrita como:

h m = Q p ω m 2 ω p 2 D m 2 D p 2

Utilizando os valores numéricos conhecidos:

h m = 0,75 × 1000 500 2 0,12 0,25 2

Logo, a altura de carga do modelo vale:

h m = 13,8   J / k g

Resposta

h m = 13,8   J / k g

Q m = 0,166   m 3 / s

D m = 0,12   m

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