Enunciado

Calcule a espessura da camada limite durante o escoamento sobre uma placa plana de 2,5 m a intervalos de 25 cm e faça um gráfico da camada limite sobre a placa plana para o escoamento de (a) ar, (b) água e (c) óleo de motor a 1 atm e 20°C a uma velocidade a montante de 3 m/s.

Passo 1

Fala aí, tudo bem? Vem comigo que eu vou te ajudar a interpretar o enunciado e resolver esse problema.

Nessa questão, a gente tem uma placa plana de 2,5   m onde ocorre um escoamento a 3   m / s : primeiro de ar, depois de água e por fim de óleo de motor, todos a 1   a t m e 20 ° C .

A gente quer, então, calcular a espessura da camada limite em cada ponto da placa, para cada um dos fluidos analisados. Pra isso, a gente vai utilizar as seguintes equações, respectivamente para os fluxos Laminar e Turbulento:

      δ x = 4,91 x R e x 1 / 2 ,   p a r a   R e x < 5 × 10 5

δ x = 0,38 x R e x 1 / 5 ,   p a r a   5 × 10 5 ≤ R e x ≤ 10 7

Onde R e x o número de Reynolds, que pode ser calculado a partir da equação:

R e x = V x ν

Sendo V a velocidade do escoamento, ν a viscosidade cinemática do fluido e x o ponto da placa que estamos analisando.

Depois de calcular as espessuras das camadas limite, a gente vai traçar um gráfico e comparar as camadas limite para cada um dos fluidos.

MAS PERA UM POUCO! Antes da gente ir pro próximo passo, a gente tem que buscar as viscosidades cinemáticas pra cada um dos fluidos a 20 ° C :

ν a r = 1,516 × 10 - 5   m 2 / s     ( T a b e l a   A - 9 ,   p á g i n a   779 ) ν á g u a = μ á g u a ρ á g u a = 1,004 × 10 - 6   m 2 / s   ( T a b e l a   A - 3 ,   p á g i n a   773 )   ν ó l e o = 9,429 × 10 - 4   m 2 / s   ( T a b e l a   A - 7 ,   p á g i n a   777 )

Pronto! Agora sim, vem comigo que nos próximos passos a gente vai resolver essa questão!

Passo 2

Vamo começar então. A gente vai dividir nosso cálculo em intervalos de 0,25   m ( 25   c m ).

Primeiro a gente calcula os números de Reynolds para cada um dos fluidos:

R e x ,   a r = V x ν a r = ( 3   m / s ) ( 0,25   m )     ( 1,516 × 10 - 5   m 2 / s ) = 4,947 × 10 4

R e x ,     á g u a = V x ν á g u a = ( 3   m / s ) ( 0,25   m )     ( 1,004 × 10 - 6   m 2 / s ) = 7,47 × 10 5

R e x ,     ó l e o = V x ν ó l e o = ( 3   m / s ) ( 0,25   m )     ( 1,004 × 10 - 6   m 2 / s ) = 7,954 × 10 2

Agora a gente tem que checar, a partir do número de Reynolds, se o fluxo é laminar ou turbulento.

Bem, como o fluxo é turbulento apenas a partir de R e x   ≥ 5 × 10 5 , temos que o único escoamento turbulento para x = 0,25   m é para a água.

Pronto, agora a gente pode calcular as espessuras da camada limite pra cada um dos fluidos:

δ x , a r = 4,91 x R e x , a r 1 / 2 = 4,91 0,25   m 4,947 × 10 4 1 / 2 = 0,0055   m

δ x , á g u a = 0,38 x R e x , á g u a 1 / 5 = 0,38 0,25   m 7,47 × 10 5 1 / 5 = 0,0064   m

δ x , ó l e o = 4,91 x R e x , ó l e o 1 / 2 = 4,91 0,25   m 7,954 × 10 2 1 / 2 = 0,0435   m

E a gente vai repetir isso até chegarmos ao comprimento todo da placa, com x = 2,5   m : primeiro calculamos o número de Reynolds, checamos se é laminar ou turbulento, aplicamos a equação correta pra δ e calculamos a espessura.

Como é uma mera repetição de passos, vou resumir essas respostas na tabela abaixo:

Uma observaçãozinha: quero que você olhe como o escoamento continuou sempre laminar (ou seja, R e x sempre menor que 5 × 10 5 ) tanto para o ar quanto para o óleo. Logo, nosso único escoamento turbulento foi pra água!

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamos agora traçar um gráfico no Excel da espessura da camada limite ao longo da placa para os três fluidos:

No gráfico acima, você pode notar que que o óleo de motor possui a maior espessura da camada limite ao longo da placa.

Essa característica ocorre porque sua viscosidade é bem maior que a da água e do ar, fazendo com que a camada limite (que é exatamente o local do escoamento onde a viscosidade é mais importante) seja realmente bem maior que para os outros dois fluidos.

Agora terminamos a questão juntos!

Resposta

O gráfico da camada limite sobre a placa plana para o escoamento de ar, água e óleo de motor a 1   a t m e 20 ° C   a uma velocidade a montante de 3   m / s é:

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