Enunciado

Calor é uniformemente gerado a uma taxa de 2   ×   10 5   W / m 3 em uma parede de condutividade térmica 25   W / ( m   ·   K ) e espessura de 60   m m . A parede está exposta à convecção nos dois lados, com diferentes coeficientes de transferência de calor e temperaturas, como mostrado. Há aletas planas retangulares no lado direito da parede, com as dimensões mostradas e condutividade térmica de 250   W / ( m   ·   K ) . Qual é a temperatura máxima no interior da parede?

Passo 1

Aqui nós temos uma parede com taxa de geração de calor, condutividade térmica e espessura conhecidas. Além das dimensões e condutividade térmica das aletas, coeficientes de transferência de calor e temperatura ambiente.

Com isso, precisamos calcular a temperatura máxima. Então bora!

Passo 2

Vamos assumir que:

(1) Estamos em condição de estado estacionário;

(2) As temperaturas da superfície e da parede são uniformes;

(3) Não em nenhuma resistência de contato entre aletas e parede;

(4) A transferência de calor das pontas da aleta é desprezível.

A distribuição de temperatura em uma parede com geração volumétrica uniforme de calor e condições de contorno de temperatura especificadas é:

T x = q ˙ L 2 2 k 1 - x 2 L 2 + T s , 2 - T s , 1 2 x L + T s , 2 - T s , 1 2

As taxas de transferência de calor nas duas superfícies, para uma seção de parede da área A , podem ser encontradas na lei de Fourier:

q s , 1 = - k A d T d x x = - L = - q ˙ L A - k A T s , 2 - T s , 1 2 L  

q s , 2 = - k A d T d x x = L = q ˙ L A - k A T s , 2 - T s , 1 2 L  

Passo 3

Nós podemos escrever essas mesmas taxas de transferência de calor, do Passo anterior, como:

q s , 1 = h 1 A ( T 1 - T s , 1 )

q s , 2 = h 2 A t T s , 2 - T 2 η o

Onde η o é dado pela Equação 3.107. Equacionando as duas expressões para q s , 1 e as expressões para q s , 2 , resolvendo para T s , 1 e T s , 2 , temos:

T s , 1 = k 2 L + h 2 A - h 1 T 1 + k 2 L h 2 A - T 2 + k L + h 2 A - q ˙ L k h 1 2 L + h 1 h 2 A - + k h 2 A - 2 L

T s , 2 = k 2 L h 1 T 1 + k 2 L + h 1 h 2 A - T 2 + + k L + h 1 q ˙ L k h 1 2 L + h 1 h 2 A - + k h 2 A - 2 L

Onde,

A - = A t η o A = A t A - N A f A ( 1 - η f )

Passo 4

Fazendo os cálculos, temos:

m = h 2 P k f A c = 2 h 2 k f t = 2 × 12 W m 2 . K 250 W m . K × 0,002 m = 6,9 m - 1  

f = tanh ⁡ m L f m   L f = t a n h ⁡ ( 6,9   m - 1 × 0,02 m ) 6,9   m - 1 × 0,02 m = 0,994

N A f A = N 2 w L f δ + t N w = 2 L f δ + t = 2 × 0,02 m 0,004 m = 10,0

A t A = N A f A + A b A = N A f A + δ N w δ + t N w = N A f A + δ δ + t = 10,0 + 0,002 m 0,004 m = 10,5

A - = 10,5 - 10,0 1 - 0,994 = 10,4

h 2 A - = 12 W m 2 . K × 10,4 = 125 W m 2 . K

Então, substituindo esses valores nas equações de T s , 1 e T s , 2 , encontramos:

T s , 1 = 92,7 ° C e T s , 2 = 85,8 ° C

Passo 5

A localização da temperatura máxima na parede pode ser encontrada configurando o gradiente da temperatura para zero:

d T d x = - q ˙ x k + T s , 2 - T s , 1 2 L = 0

Como,

x m a x = k T s , 2 - T s , 1 2 L q ˙  

Substituindo isso de volta na distribuição de temperatura, temos:

T m a x = q ˙ L 2 2 k + k T s , 2 - T s , 1 2 8 L 2 q ˙ + T s , 1 - T s , 2 2

Substituindo os valores, encontramos:

T m a x = 93,7 ° C

Resposta

T m a x = 93,7 ° C

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