Enunciado

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Em uma câmera de vácuo, uma camada espessa é colocada sob um conjunto de diodos de laser com pulso de saída constante. Um termopar é inserido dentro de uma camada a 25   m m da superfície cuja temperatura uniforme inicial é de 20   ° C . As propriedades conhecidas da camada são k = 63,9   W / ( m . K ) e α = 18,8 . 10 - 6   m 2 / s . Se o termopar mediu temperatura de 130   ° C , 30   s após a superfície da camada ter sido exposta ao laser de pulso, determine (a) a quantidade de energia por unidade de superfície de área da superfície da camada e (b) a leitura do termopar após 60   s .

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil, só o enunciado que assusta um pouco! A primeira coisa que a gente tem que fazer é assumir hipóteses. Nessa questão, temos como assumir que:

  • A camada espessa pode ser considerada como um sólido semi-infinito.
  • As propriedades térmicas da camada espessa são constantes. Isso quer dizer que o valor da condutividade térmica k = 63,9   W / ( m . K )   e da difusividade térmica α = 18,8 . 10 - 6   m 2 / s são constantes.
  • A transferência de calor por radiação pode ser desprezada.

Passo 2

Agora vamos para a análise do problema, galera! A gente pode notar que essa questão possui duas partes, sendo elas:

  1. Determinar a quantidade de energia por unidade de superfície de área da superfície da camada;
  2. Determinar a leitura do termopar após 60   s .

Agora que sabemos com clareza o que nos foi pedido, vamos partir para os cálculos!

Passo 3

Vamos começar resolvendo pela letra (a) da questão! Como observado no enunciado, temos um conjunto de diodos de laser com pulso de saída constante. Portanto, estamos tratando de um sólido semi-infinito com pulso de energia na superfície e s constante! Sendo assim, a distribuição de temperatura em regime transiente unidimensional nesse caso é dada por:

T x , t -   T i = e s k . π . t α . e x p - x 2 4 . α . t

Passo 4

Inicialmente, a superfície da camada está a uma temperatura uniforme de T i = 20   ° C e ela foi exposta ao laser de pulso por t = 30   s . Um termopar foi inserido dentro da camada a x = 25   m m . 1   m 10 3   m m = 0,025   m da superfície. Agora, repara na sacada! Um termopar é um sensor que mede temperaturas em determinado período de tempo, portanto, T x , t = 130   ° C !

Passo 5

Ufa, agora a gente vai conseguir com certeza! Temos todas essas variáveis em mão! Vamos jogar eles na equação e determinar a quantidade de energia por unidade de superfície de área da superfície da camada que nada mais é o pulso de energia na superfície e s ! Portanto:

T x , t -   T i = e s k . π . t α . e x p - x 2 4 . α . t

e s = T x , t -   T i . k . π . t α e x p - x 2 4 . α . t

e s = 130 -   20 . 63,9 . π . 30 18,8 . 10 - 6 e x p - ( 0,025 ) 2 4.18,8 . 10 - 6 . 30

e s = 2,076 . 10 7 J / m 2

Conseguimos a primeira resposta, galera! Mandaram muito bem!

Passo 6

Agora vamos para a letra (b) da questão! Vem comigo que falta pouco! Precisamos determinar a leitura do termopar após 60   s . Só pra lembrar, um termopar mede temperaturas em determinado período de tempo, portanto, ele mede T x , t !

Aplicando a mesma equação que usamos para resolver o item anterior, mas agora substituindo e s = 2,076 . 10 7 J / m 2 e t = 60   s , chegamos à tão desejada resposta! Portanto:

T x , t -   T i = e s k . π . t α . e x p - x 2 4 . α . t

T x , t = e s k . π . t α . e x p - x 2 4 . α . t + T i

T x , t = 2,076 . 10 7 63,9 . π . 60 18,8 . 10 - 6 . e x p - ( 0,025 ) 2 4.18,8 . 10 - 6 . 60 + 20

T x , t = 109   ° C

Conseguimos nossa segunda resposta pessoal! Vocês são feras demais!

Resposta

Após todos esses passos, temos que a quantidade de energia por unidade de superfície de área da superfície da camada é e s = 2,076 . 10 7 J / m 2 e a leitura do termopar após 60   s é T x , t = 109   ° C !

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