Enunciado

Em um campo de escoamento incompressível oscilante, a força por unidade de massa que age sobre uma partícula é obtida da Segunda Lei de Newton na forma intensiva (consulte o Problema 7-20),

Suponhamos que a velocidade e o comprimento característicos de determinado campo de escoamento sejam V ∞   e   L , respectivamente. Suponhamos também que ω seja uma frequência angular característica (rad/s) da oscilação (Figura P7-31). Defina as seguintes variáveis adimensionalizadas,

Como não foi dada nenhuma escala característica para a força por unidade de massa que age na partícula de fluido, nós escolhemos uma observando que { F → m } = { L / t ² } . Ou seja, tomamos

Adimensionalize a equação do movimento e identifique todos os parâmetros adimensionais usuais (nomeados) que possam aparecer.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, agora que relembramos como ocorre a adimensionalização nos problemas e utilizando as relações dadas no enunciado do problema em questão, vamos analisar as equações mostradas.

A equação do movimento é dada por:

F → m = ∂ V → ∂ t +   V → ⋅ ∇ → V →               ( 1 )

Passo 2

Para reescrever a Eq. 1 adimensionalizada, nós podemos substituir as variáveis ​​não dimensionadas da equação, que já sabemos as relações, dadas no problema.

Ficou confuso?

Por exemplo, pelas variáveis definidas no enunciado, temos que   t = t * / ω e V → = V ∞ ⋅ V → * .

Assim, substituindo as variáveis ​​não dimensionadas da equação:

ω 2 L F → m * = ω U   ∂ V → * ∂ t + U 2 L   V → * ⋅ ∇ → * V → *  

Podemos simplificar multiplicando cada termo por L / V ∞ ² :

ω L V ∞ 2 F → m * = ω L V ∞ ∂ V → * ∂ t + V → * ⋅ ∇ → * V → *                 ( 2 )  

Reconhecemos o parâmetro adimensional entre parênteses na Eq. 2 como S t (número Strouhal). Assim, reescrevemos a Eq. 2 como:

S t 2 F → m * = S t ∂ V → * ∂ t + V → * ⋅ ∇ → * V → *  

P.s: Usamos a frequência angular ω nesse problema. O mesmo resultado seria obtido se usássemos a frequência. A equação 2 é a base para formar a equação diferencial para conservação do momento linear de um campo de fluxo instável e incompressível.

Resposta

Portanto:

S t 2 F → m * = S t ∂ V → * ∂ t + V → * ⋅ ∇ → * V → *  

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