Enunciado

Considere a ventilação de uma sala bem misturada como aquela da Figura P7-25. A equação diferencial da concentração de massa na sala como função do tempo é dada no Problema 7-25 e é repetida aqui por conveniência,

Existem três parâmetros característicos em tal situação: L, uma escala de comprimento característica da sala (considere L = V 1 / 3 ); V a vazão em volume do ar fresco para a sala e c l i m i t e , a concentração máxima de massa que não é prejudicial, (a) Usando esses três parâmetros característicos, defina as formas adimensionais de todas as variáveis da equação. (Sugestão: por exemplo, defina c * = c / c l i m i t e .) (b) Reescreva a equação na forma adimensional, e identifique todos os grupos usuais adimensionais que possam aparecer.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente vamos assumir que:

1. O ar na sala é bem misturado, de modo que c é apenas uma função do tempo.

Agora vamos relembrar um pouco como adimensionalizamos variáveis?

É o seguinte, já vimos como encontramos as dimensões das equações através das dimensões primárias (chamadas também de parâmetros de escala) de cada variável, certo?

Pois bem, a partir dessas dimensões encontradas, podemos realizar uma divisão de cada variável por uma variável arbitrária de mesma dimensão, resultando em uma variável adimensionalizada, entendido? Então mãos à obra.

Passo 2

Letra a) Vamos adimensionalizar as variáveis (uma a uma) ​​por inspeção de acordo com suas dimensões. Então vamos lá:

Primeiro, o problema pediu para considerar L = V 1 / 3 , assim:

V = L 3   →   V * = V L 3

Depois, temos a sugestão de que c * = c / c l i m i t e , portanto:

c * = c c l i m i t e

O tempo é t * = t t 0 . Porém sabemos que o t 0 pode ser representado pela razão do volume pela vazão volumétrica: t 0 = V V ˙ , pois c o m p r i m e n t o 3 c o m p r i m e n t o 3 / t e m p o = t e m p o . Então, reorganizando:

t * = t t 0 = t V V ˙       → t * = t V ˙ L 3

Continuando, vamos analisar a área A s , e como a mesma é dada em c o m p r i m e n t o ² , podemos adimensionalizar como:

A s * = A s L 2

No Problema 7-25 encontramos que k w = c o m p r i m e n t o t e m p o . Como já sabemos que t 0 = L 3 V ˙ , então k w 0 = L L 3 V ˙ = V ˙ L 2 , portanto temos:

k w * = k w k w 0 = k w V ˙ L 2               → k w * = k w L 2 V ˙

E por fim:

S * = S c l i m i t e ⋅ V ˙

Passo 3

Organizando as variáveis adimensionalizadas, temos:

V * = V L 3         c * = c c l i m i t e         t * = t V ˙ L 3       A s * = A s L 2           k w * = k w L 2 V ˙       e     S * = S c l i m i t e ⋅ V ˙

Passo 4

Letra b) Agora nós os substituímos para gerar a equação adimensionalizada:

V * ⋅ L 3 d c * ⋅ c l i m i t e d t * ⋅ L 3 V ˙ = S * ⋅ c l i m i t e ⋅ V ˙ - V ˙ c * c l i m i t e - c * ⋅ c l i m i t e A s * ⋅ L 2 K w * ⋅ V ˙ L 2     ( 1 )

Notamos que todo termo na Eq. 1 contém o produto V ˙ ⋅ c l i m i t e . Dividimos cada termo por essa quantidade para obter uma forma não dimensionalizada da equação:

V * d c * d t * = S * - c * - c * A s * K w *

Resposta

Portanto:

Letra a) V * = V L 3         c * = c c l i m i t e         t * = t V ˙ L 3       A s * = A s L 2           k w * = k w L 2 V ˙       e     S * = S c l i m i t e ⋅ V ˙

Letra b)

  V * d c * d t * = S * - c * - c * A s * K w *

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