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Você se lembra de que no Capítulo 4 viu que a taxa de deformação volumétrica é zero para um escoamento incompressível em regime permanente? Em coordenadas cartesianas expressamos isso como

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0    

Suponhamos que a velocidade e o comprimento característicos de determinado campo de escoamento sejam V e L , respectivamente (Figura P7-28). Defina as seguintes variáveis adimensionais,

x * = x L ,       y * = y L ,   z * = z L

u * = u V ,       v * = v V ,       w * = w V    

Adimensionalize a equação e identifique todos os parâmetros adimensionais usuais (nomeados) que possam aparecer. Discuta.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente vamos assumir que:

1. O fluxo é constante.

2. O fluxo é incompressível.

Agora que relembramos como ocorre a adimensionalização no problema 7-27, vamos analisar a equação mostrada no problema.

Passo 2

A equação é:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0           ( 1 )

Para reescrever a Eq. 1 adimensionalizada, nós podemos substituir as variáveis ​​não dimensionadas da equação, que já sabemos as relações, dadas no problema.

Ficou confuso? Por exemplo, pelas variáveis definidas no enunciado, temos que   u = u * ⋅ U e x = x * ⋅ L .

Assim, substituindo as variáveis ​​não dimensionadas da equação:

U L ⋅ ∂ u * ∂ x * + U L ⋅ ∂ v * ∂ y * + U L ⋅ ∂ w * ∂ z * = 0

Ou, simplificando:

∂ u * ∂ x * + ∂ v * ∂ y * + ∂ w * ∂ z * = 0                     ( 1 )

Podemos perceber que não há novos parâmetros não dimensionais na equação adimensionalizada. A equação original vem de pura cinemática - não há propriedades fluidas envolvidas na equação e, portanto, não é de surpreender que não haja dimensões adimensionais.

Resposta

Portanto:

∂ u * ∂ x * + ∂ v * ∂ y * + ∂ w * ∂ z * = 0

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