Enunciado

Um campo de velocidade bidimensional, incompressível e em regime permanente é dado por

V → = u , v = 1 + 2.5 x + y i → + - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y j →

Onde as coordenadas x e y estão em m e o módulo da velocidade está em m / s

( a ) Determina se há muitos pontos de estagnação nesse campo de escoamento e, neste caso, onde?

( b ) Represente graficamente os vetores velocidade em diversos locais do quadrante superior direito de x = 0   m a 4   m e de y = 0   m a 4   m ; descreva qualitativamente o campo de escoamento.

Passo 1

Um ponto de estagnação tal como o nome diz é um ponto onde o campo de velocidade é nulo, ou seja o corpo está estagnado (parado) e para isso basta fazer:

1 + 2.5 x + y = 0

- 0.5 - 1.5 x - 2.5 y = 0

Resolvendo esse sistema nós temos:

2.5 x + y = - 1

1.5 x + 2.5 y = - 0.5

Multiplicando a segunda por dois nós temos:

2.5 x + y = - 1

3 x + 5 y = - 1

Explicitando y na primeira equação temos:

y = - 1 - 2.5 x

Aplicando isso na segunda equação nós temos:

3 x + 5 - 1 - 2.5 x = - 1

3 x - 5 - 12.5 x = - 1

x = - 8 19

Portanto:

y = - 1 - 2.5 - 8 19 = 1 19

Portanto temos um ponto de estagnação em:

x , y = - 8 19 , 1 19

Passo 2

Plotando o campo vetorial da velocidade nós temos:

Só note o ponto lá em baixo na esquerda, esse é o ponto de estagnação, note que os campos vetoriais ao redor dele estão bem doidões, apontando para todas as direções.

Como podemos ver o gráfico vetorial no primeiro quadrante estão com flechas apontando para a direita e para baixo, isso se deve ao fato de u (componente horizontal da velocidade) ser sempre positivo para x > 0   e   y > 0 e v ser sempre negativo para x > 0 e y > 0 .

Resposta

a )   U m   p o n t o   d e   e s t a g n a ç ã o   e m   x , y = - 8 19 , 1 19

b )   G r á f i c o   d o   P a s s o   2

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