Enunciado

O escoamento de duto convergente é modelado pelo campo de velocidade em regime permanente e bidimensional do Problema 4-15. À medida que o seguimento de reta vertical A B se movimenta a jusante, ele encolhe do comprimento η + Δ η conforme a Figura P4-46. Gere uma expressão analítica para a variação de comprimento do segmento de reta Δ η . Observe que a variação no comprimento Δ η é negativa. (Sugestão: Use os resultados do Problema 4-45.)

Passo 1

Galera do exercício anterior, temos uma expressão para a alteração no comprimento do segmento de linha A B , sendo ela:

Mudança no comprimento do segmento de linha:

Δ η = ( y B - y A ) ( e - b t - 1 )

A definição fundamental de taxa de deformação linear é a taxa de aumento no comprimento de um segmento de linha por unidade de comprimento do segmento de linha.

Para o caso em questão, temos que:

Taxa de deformação linear na direção y :

ε y y = d d t η + Δ η - η η = d d t Δ η η = d d t Δ η y B - y A

Passo 2

Utilizando as duas equações do Passo 1, onde iremos substituir a Eq. na Eq. 2 para obter:

Taxa de deformação linear na direção y :

ε y y = d d t y B - y A e - b t - 1 y B - y A = d d t e - b t - 1

No limite de t   →   0 , aplicamos os dois primeiros termos da expansão em série para e - b t :

Expansão em série para e - b t :

e - b t = 1 + - b t + - b t 2 2 ! + … ≈ 1 - b t

Passo 3

Por fim, temos que para t pequeno, aproximamos a derivada do tempo de 1   /   t , produzindo...

Taxa de deformação linear na direção y :

ε y y → 1 t 1 - b t - 1 = - b

Comparando com a equação de ε ...

Taxa de deformação linear na direção y :

ε y y = ∂ v ∂ y = - b

As equações concordam, verificando assim a nossa álgebra.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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