Enunciado

Para o campo de velocidade do Problema 9-49, faça o gráfico das linhas de corrente ψ = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 e 6   m 2 / s . Considere as constantes a , b e c com os seguintes valores: a = 0,5   s - 1 , b = - 1,3   s - 1 e c = 0,50   s - 1 . Por consistência, desenhe as linhas de corrente entre x = - 2 e 2   m , e y = - 4 e 4   m . Indique a direção do escoamento com setas.

Passo 1

O exercício quer que a gente desenhe em um gráfico uma linha de corrente para cada valor de função corrente ψ : 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 e 6   m 2 / s . Para fazer isso, temos que usar a expressão de função corrente presente no Problema 9-49 que está abaixo.

ψ = a x 2 + b x y + c y 2

Desenhar as linhas de corrente em um gráfico é o mesmo que calcular a posição de cada ponto que forma a linha de corrente (ou seja, calcular as coordenadas x , y de cada ponto que forma uma linha de corrente com valor de ψ constante). Em outras palavras, precisamos encontrar o valor da coordenada y da linha de corrente para cada valor de ψ e x .

Encontrar os valores de y para certos valores de x é a mesma coisa que encontrar os zeros da equação abaixo. Essa equação é apenas a equação anterior com ψ do outro lado da equação.

a x 2 + b x y + c y 2 - ψ = 0

Substituímos os valores de a , b e c na equação, ela vira:

a x 2 + b x y + c y 2 - ψ = 0     ⟹     0,5 x 2 - 1,3 x y + 0,5 y 2 - ψ = 0

No passo seguinte vamos entender o processo de cálculo das raízes para formar o gráfico das linhas de corrente.

Passo 2

Para encontrar os valores dos zeros da equação acima precisamos usar a fórmula de Bhaskara de polinômios do segundo grau. Como calculamos os valores y para cada valor de x e ψ , x e ψ fazem parte das constantes do polinômio f y para o qual temos que achar as raízes.

f y = 0,5 ⏟ a ' ⋅ y 2 - 1,3 x ⏟ b ' ⋅ y + 0,5 x 2 - ψ ⏟ c '

onde a ' , b ' e c ' são os símbolos dos coeficientes do polinômio de segundo grau e não devem ser confundidos com os coeficientes a , b e c da expressão da função corrente ψ .

A fórmula de Bhaskara se encontra abaixo.

y = - - 1,3 x ± - 1,3 x 2 - 4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 x 2 - ψ 2 ⋅ 0,5

Os valores de x devem variar de - 2 e 2 e geraremos o gráficos para valores de y entre - 4 e 4 .

Passo 3

Além de desenhar as linhas de corrente, o problema também pede que a gente indique a direção do escoamento com setas. Para fazer isso, temos que calcular as componentes u (componente do eixo x ) e v (componente do eixo y ) da velocidade do escoamento. Fazemos isso, derivando a função corrente ψ de acordo com a equação 9-20 do livro para escoamentos incompressíveis e bidimensionais.

u = ∂ ψ ∂ y

v = - ∂ ψ ∂ x

Substituindo as expressões de ψ nessas fórmulas, encontramos expressões para u e v .

u = ∂ ψ ∂ y       ⟹       u = ∂ ∂ y a x 2 + b x y + c y 2       ⟹       u = b x + 2 c y

v = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       v = - ∂ ∂ x a x 2 + b x y + c y 2       ⟹       v = - 2 a x - b y

Com essas equações, descobrimos para onde a velocidade de cada ponto do escoamento aponta. Vamos considerar o ponto onde x = 0 e y = 1 como exemplo. Nesse ponto, os valores de u e v valem:

u = b x + 2 c y     ⟹       u = - 1,3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0,5 ⋅ 1       ⟹       u = 1   m / s

v = - 2 a x - b y       ⟹       v = - 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0 - - 1,3 ⋅ 1       ⟹       v = 1,3   m / s

Como u é positivo, o sentido do escoamento no eixo x no ponto x = 0 , y = 1 é da esquerda pra direita. Se u fosse negativo, o sentido do escoamento no eixo x no ponto seria da direita para a esquerda. Como v é positivo, o sentido do escoamento no eixo y no ponto x = 0 , y = 1 é de baixo pra cima. Se v fosse negativo, o sentido do escoamento no eixo y no ponto seria de cima pra baixo.

Passo 4

O gráfico resultante é mostrado abaixo.

Resposta

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