Enunciado

Um canal trapezoidal com uma largura inferior de 6   m , com inclinação lateral de 1 para 2 , com inclinação no fundo do canal de 0,0016 , e um n de Manning igual a 0,025 , transporta uma descarga de 11,3   m 3 / s . Calcule a profundidade e a velocidade crítica deste canal.

Passo 1

Vamos começar visualizando o canal? É um bom jeito de entender melhor o que o enunciado está nos dizendo:

Aeee! Esse é nosso canal! Já podemos observar a largura inferior ( b ), e aquele ângulo ali que o exercício nos disse que a inclinação lateral é de 1 para 2 , então conseguimos encontrar nosso ângulo:

α = a r c t a n   ( 2 )

α = 63,4 °

Vamos aproveitar esse primeiro passo para fazer também as conversões:

b = 6   m b = 20   f t

Q = 11,3   m 3 / s Q = 400   c f s

Passo 2

Vamos agora dar uma olhada na fórmula que relaciona esses parâmetros que nós temos que calcular:

E = y + V 2 2 * g

Bom, dessa forma nós ficamos com mais de uma incógnita… Masss, o enunciado nos deu a vazão...Humm...Então que tal reescrever essa equação de outra forma, de modo que apareça componentes que nós temo? Show! Então vamos lá:

E = y + Q A 2 2 * g

E = y + Q 2 2 * g * A 2

Aí sim! Já melhorou um pouco!

Mas agora temos uma área de escoamento para encontrar, mas se a gente usar a tabela 11.1 através dessa equação podemos encontrá-la:

A = y ( b + y * c o t g   α )

Beleza! Então vamos substituir isso na nossa equação:

E = y + Q 2 2 * g * y ( b + y * c o t g   α ) 2

Estamos no caminho certo! Partiu próximo passo!

Passo 3

A gente não pode esquecer que o exercício quer os fatores críticos, então:

d E d y = 0

0 = 1 - Q 2 g * y 3 * ( b + y * c o t g   α ) 2 - Q 2 c o t g   α g * y 2 * ( b + y * c o t g   α ) 3

1 = Q 2 b + 2 * y * c o t   α g * y 3 * ( b + y * c o t g   α ) 3

g * y 3 * ( b + y * c o t g   α ) 3 - Q 2 b + 2 * y * c o t   α = 0

f ( y ) = g * y 3 * ( b + y * c o t g   α ) 3 - Q 2 b + 2 * y * c o t   α

Passo 4

Agora que temos uma função de y com parâmetros conhecidos podemos dar valores para y para que a gente ache valores para f ( y ) .

y = 2 f ( y ) = 1,36   x   10 5

y = 2,25 f ( y ) = - 1,05   x   10 5

y = 2,35 f ( y ) = - 3,88   x   10 5

y = 2,27 f ( y ) = 1,38   x   10 5

Já chega, né? Vamos trabalhar y = 2,27 ! Já temos nossa profundidade! Aeeee!!

Agora partiu encontrar nossa área:

A = y ( b + y * c o t g   α )

A = 2,27 * ( 20 + 2,27 * c o t g   63,4 )

A = 48   f t 2

Com a área a gente já pode resolver o outro questionamento do exercício, a velocidade:

V = Q A

V = 400 48

V = 8,33   f t / s

Resposta

y = 2,27   f t V = 8,33   f t / s

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