Enunciado

Usando o EES (ou outro software), calcule e represente graficamente a variação da entropia do ar através do choque normal para números de Mach a montante entre 0,5 e 1,5 em incrementos de 0,1 . Explique por que as ondas de choque normais só podem ocorrer para números de Mach a montante maiores do que M a = 1 .

Passo 1

O problema é sobre choques normais no escoamento de ar. A questão pede que a gente calcule a diferença entre a entropia do ar depois do choque s 2 e antes do choque s 1 . No entanto, o problema quer que a gente calcule s 2 - s 1 para diversos números de Mach do ar antes do choque M a 1 . Segundo o enunciado, M a 1 deve variar entre 0,5 e 1,5 .

T 1 e T 2 são as temperaturas do ar antes e depois do choque normal. P 1 e P 2 são as pressões do ar antes e depois do choque normal.

Depois de calcular um s 2 - s 1 para cada valor de M a 1 diferente, o problema pede para a gente gerar um gráfico e uma tabela da variação de entropia s 2 - s 1 versus número de Mach de entrada M a 1 com esses resultados. Por fim, a questão ainda pede que a gente justifique através dos resultados o motivo de não existir onda de choque normal para M a 1 < 1 .

Apesar do exercício pedir muita informação (uma tabela, um gráfico e justificativa de não existir choque normal para M a 1 < 1 ), usamos uma única fórmula para calcular a variação de entropia s 2 - s 1 . Como ar pode ser considerado um gás ideal com calor específico c p constante c p = 1005   J / k g , podemos calcular s 2 - s 1 através da fórmula de variação de entropia para um gás ideal com c p constante que se encontra abaixo.

s 2 - s 1 = c p ⋅ ln ⁡ T 2 T 1 - R ⋅ ln ⁡ P 2 P 1

R é a constante de gás do ar e vale 287   J / k g K . P 2 é a pressão de saída do ar.

No próximo passo vamos aprender como usar essa fórmula!

Passo 2

Nesse passo, vamos aprender a usar a fórmula de variação de entropia s 2 - s 1 para gases ideais. Para usar essa fórmula, precisamos conhecer todos os termos do lado direito da questão. No entanto, não sabemos quanto vale P 2 / P 1 nem T 2 / T 1 . Para calcular P 2 / P 1 , usamos uma equação de choques normais que relaciona a pressão P 1 com a pressão P 2 .

P 2 P 1 = 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2

onde M a 1 é o número de Mach do ar antes do choque, M a 2 é o número de Mach do ar depois do choque e k é uma constante que vale 1,4 para o ar.

Para calcular T 2 / T 1 , usamos uma equação de choques normais que relaciona a temperatura P 1 com a temperatura P 2 .

T 2 T 1 = 1 + M a 1 2 ⋅ k - 1 / 2 1 + M a 2 2 ⋅ k - 1 / 2

Vemos que para calcular tanto P 2 P 1 quanto T 2 / T 1 precisamos calcular primeiro o número de Mach do ar depois do choque M a 2 . Para isso, usamos uma equação de choques normais que relaciona o número de Mach antes do choque M a 1 com o número de Mach depois do choque M a 2 .

M a 2 = M a 1 2 + 2 k - 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ k k - 1 - 1

Note que, a partir da equação acima, vamos encontrar valor de M a 2 para cada valor de M a 1 entre 0,5 e 1,5 . A questão pede para a gente variar M a 1 de 0,1 em 0,1 . Ou seja, calcularemos primeiro o valor de M a 2 para M a 1 = 0,5 , depois para M a 1 = 0,6 e assim por diante até chegar no último valor de M a 2 para M a 1 = 1,5 .

Por fim, utilizaremos cada valor de M a 2 para calcular vários valores de P 2 P 1 e T 2 T 1 e substituiremos os P 2 P 1 e T 2 T 1 encontrados na fórmula de s 2 - s 1 . Esses valores finais de s 2 - s 1 formarão o gráfico e as tabelas!

No próximo passo aprenderemos a fazer esses cálculos repetidos de uma forma mais rápida!

Passo 3

No passo anterior nós vimos a quantidade enorme de cálculos repetidos que precisamos fazer para gerar o gráfico e a tabela de s 2 - s 1 versus M a 1 . Como podemos fazer isso de uma forma mais rápida?

Programando um algoritmo para fazer as contas automaticamente para a gente!

Abaixo, nós vemos um algoritmo do MATLAB feito para realizar essas contas!

No próximo passo veremos os resultados.

Passo 4

Nesse passo, será mostrado o gráfico s-Ma ( s 2 - s 1 versus M a 1 ) gerado pelo algoritmo do MATLAB e a tabela gerada por esse algoritmo também.

Além disso, entenderemos o motivo de não existir onda de choque normal para M a 1 < 1 .

No gráfico e na tabela acima nós vemos que, para valores de número de Mach M a 1 menores que 1, a variação de entropia s 2 - s 1 é negativa. Isso viola a segunda lei da termodinâmica que diz que a entropia líquida só pode aumentar. Ou seja, não existe choque normal para M a 1 , porque isso violaria a segunda lei da termodinâmica.

Resposta

No gráfico e na tabela acima nós vemos que, para valores de número de Mach M a 1 menores que 1, a variação de entropia s 2 - s 1 é negativa. Isso viola a segunda lei da termodinâmica que diz que a entropia líquida só pode aumentar. Ou seja, não existe choque normal para M a 1 , porque isso violaria a segunda lei da termodinâmica.

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