Enunciado

No Capítulo 9 discutiremos a equação diferencial para a conservação de massa, a equação da continuidade. Em coordenadas cilíndricas e para o escoamento em regime permanente

Escreva as dimensões primárias de cada termo aditivo da equação e certifique-se de que a equação é dimensionalmente homogênea. Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

As dimensões primárias dos componentes de velocidade u são c o m p r i m e n t o / t e m p o . As principais dimensões das coordenadas r   e   z   s ã o   c o m p r i m e n t o , e as dimensões primárias da coordenada θ são adimensionais (θ é um ângulo sem dimensão).

Em resumo, somente relembramos as dimensões primárias de cada termo. Vamos agora ver se a equação é dimensionalmente homogênea.

Passo 2

Bem, relembrando, a equação é:

1 r ∂ ( r u r ) ∂ r = 1 r ∂ u θ ∂ θ + ∂ u z ∂ z

Assim, cada termo na equação pode ser escrito em termos de dimensões primárias:

1 r ∂ ( r u r ) ∂ r = 1 c o m p r i m e n t o c o m p r i m e n t o ⋅ c o m p r i m e n t o / t e m p o c o m p r i m e n t o = 1 t e m p o   ;

1 r ∂ u θ ∂ θ = 1 c o m p r i m e n t o c o m p r i m e n t o / t e m p o 1 = 1 t e m p o   ;  

∂ u z ∂ z = c o m p r i m e n t o / t e m p o c o m p r i m e n t o = 1 t e m p o   ;  

Resposta

Portanto, foi provado que a equação é dimensionalmente homogênea.

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