Enunciado

Uma chapa fina deve passar de forma contínua num banho de tinta contido num reservatório, como mostra a figura. Em regime permanente, o diagrama de velocidades bidimensional v z = f x é tal que, numa seção, a vazão é nula, já que parte da tinta sobe arrastada pela chapa e retorna por gravidade, mantendo a espessura constante. Como a velocidade da chapa é baixa, admite-se que o atrito com o ar ( τ ) é desprezível. Determinar:

  1. a expressão do diagrama de velocidades;
  2. a velocidade de subida da chapa para que a espessura da camada de tinta seja h = 0,3   m m .

Dados: v t i n t a = 5 × 10 - 5   m 2 / s ; g = 10   m / s 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como o movimento do fluido obedece a um regime permanente, temos que:

∂ v z ∂ t = 0

Em que v z é função somente de y .

Assim, utilizando as equações fornecidas na seção 11.40 , temos que:

v z ∂ v z ∂ t = - g 1 ρ ∂ p ∂ z + v ∂ 2 v z ∂ y 2

Como a espessura não varia, consequentemente a pressão não irá variar ao longo de z , ou seja:

∂ p ∂ z = 0

Portanto, teremos que:

∂ 2 v z ∂ y 2 = g v

Passo 2

Integrando duas vezes ambos os lados da equação acima, temos:

∫ ∂ 2 v z = ∫ g v ∂ y

∂ v z = g v y + C 1

E:

∫ ∂ v z = ∫ g v y + C 1 ∂ y

Resolvendo, temos que:

v z = g y 2 2 v + C 1 y + C 2

Passo 3

A constante C 2 será a velocidade do fluido na superfície da chapa, ou seja, C 2 = v 0 . Fazendo y = h , temos que:

τ = μ ∂ v z ∂ y = 0

∂ v z ∂ y = 0

Isso implica que a constante C 1 será:

C 1 = - g h v

Dessa forma, substituindo os valores das constantes encontradas, temos que a expressão do diagrama de velocidades será dada por:

v z = g y 2 2 v - g h v y + v 0

v z = g h v y y 2 h - 1 + v 0

Passo 4

Para o item b, temos que:

Q = ∫ v z d A

Como a vazão é nula numa seção da chapa, temos que:

0 = ∫ 0 h g y 2 2 v - g h v y + v 0 b d y

Desenvolvendo a equação, temos que:

g y 3 6 v - g h y 2 2 v + v 0 y 0 h = 0

g h 2 6 v - g h 2 2 v + v 0 = 0

Logo:

v 0 = g h 2 3 v

Substituindo os dados conhecidos, temos que:

v 0 = 10 0,3 ⋅ 10 - 3 2 3 ⋅ 5 ⋅ 10 - 5

v 0 = 6 ⋅ 10 - 3 m / s

Ou:

v 0 = 6   m m / s

Resposta

a )   v z = g h v y y 2 h - 1 + v 0

b ) v 0 = 6   m m / s

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