Enunciado

Um cilindro de alumínio (d = 2,7) desliza concentricamente para baixo em um fio esticado de 1 mm de diâmetro, como mostra a Figura P7.85. Seu comprimento é L = 8 cm e seu raio é R = 1 cm. Um furo de 2 mm de diâmetro no centro do cilindro é lubrificado com óleo SAE 30 a 20°C. Calcule a velocidade terminal de queda V do cilindro se o arrasto no ar ambiente é (a) desprezado e (b) incluído. Admita ar a 1 atm e 20°C.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos um cilindro de alumínio, de massa específica ρ A l = 2700   k g / m ³ , que desliza concentricamente em um fio de D f i o = 0,001   m de diâmetro, como demonstra a figura que ilustra a imagem.

O comprimento do cilindro é L = 0,08   m e seu raio é R c i l i n d r o = 0,01   m . Além disso, temos também um furo de diâmetro D f u r o = 0,002   m no centro do cilindro, lubrificado com óleo SAE 30 a 20°C ( μ ó l e o = 0,29   k g / m ∙ s ).

O enunciado da questão nos pede pra calcular a velocidade terminal V do cilindro deslizando em duas situações: a primeira quando a força de arrasto é desprezada, e a segunda incluindo essa força.

Antes de partir pros equacionamentos, temos que lembrar que quando um corpo atinge a velocidade terminal, não há aceleração no corpo e as forças que atuam nele estão equilibradas.

Pra primeira situação, quando o arrasto é negligenciado, o peso do cilindro W será igual à força de atrito devida à tensão de cisalhamento τ entre o óleo e as paredes do buraco no centro do cilindro.

Sendo assim:

W = τ A f u r o

Sendo A f u r o = π D f u r o L , a área lateral do furo no centro do cilindro.

Já pra primeira situação, quando o arrasto é considerado, o peso do cilindro W será igual à soma da força de atrito devida a τ e da força de arrasto causada pelo deslocamento de ar provocado pelo cilindro, F A .

Sendo assim:

W = τ A f u r o + F A

Nos próximos passos, eu vou te ensinar como calcular W e encontrar expressões pra τ e F A em função da velocidade terminal V , e a como calculá-las.

Mas antes da gente ir pro Passo 2, vamos lembrar que para o ar à temperatura ambiente, a massa específica será ρ a r = 1,2 k g m 3 e a viscosidade será μ a r = 1,8 \ 10 - 5 P a ∙ s .

Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular o peso W do cilindro.

Basicamente, ele será dado pelo produto entre o peso específico do cilindro e seu volume.

O volume será dado pelo volume do cilindro inteiro de mesmo diâmetro menos o volume do furo.

Sendo assim:

W = ρ A l g π R c i l i n d r o 2 - R f u r o 2 L

W = 2700   k g / m ³ 9,81   m / s ² π 0,01   m 2 - 0,001   m 2 0,08   m

W = 0,659   N

Passo 3

Agora, vamos resolver a letra (a), encontrando a velocidade terminal V para o caso da força de arrasto ser negligenciada.

Para deduzir uma expressão para a tensão de cisalhamento entre o óleo e o buraco do cilindro, devemos simplesmente considerar que este óleo está escoando em uma região anular formada pelo fio e pelo furo no cilindro.

Sendo assim, a tensão de cisalhamento será dada por:

τ = μ ó l e o V R f u r o ln ⁡ R f u r o R f i o

Expressando τ em função de V , teremos:

τ = ( 0,29   k g / m ∙ s )   V 0,001   m ln ⁡ 0,001   m 0,0005   m = 418 V

Substituindo no balanço de forças para este caso, teremos:

W = τ π D f u r o L →   0,659   = 418 V π × 0,002   m × 0,08

Isolando e resolvendo pra V :

V = 3,13   m / s  

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamos resolver a letra (b), encontrando a velocidade terminal V para o caso da força de arrasto ser considerada.

Nesse caso, queremos encontrar uma expressão pra força de arrasto F A em função de V . Dessa forma, teremos:

F A = C A ρ a r V 2 2 π R c i l i n d r o 2

Nesse caso teremos que encontrar o valor do coeficiente de arrasto C A , vamos na Tabela 7.3 na página 495. Pra um cilindro achatado, teremos C A ≈ 0,99 .

Portanto, a força de arrasto se torna:

F A = 0,99 1,2 V 2 2 π 0,01 2 = 1,87 × 10 - 4 V ²

Substituindo no balanço de forças para essa situação:

W = τ π D f u r o L + F A →   0,659   = 0,21 V + 1,87 × 10 - 4 V ²

Resolvendo essa equação de segundo grau para V , teremos:

V ≈ 3,12   m / s

Coo podemos ver, a força de arrasto é completamente negligenciável para esse problema.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A velocidade terminal negligenciando o arrasto é V = 3,13   m / s  

(b) A velocidade terminal considerando o arrasto é V = 3,12   m / s  

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