Enunciado

Em uma festa surpresa para um amigo, você amarrou uma série de balões inflados com o gás hélio com diâmetro de 20 cm a um mastro de bandeira, Cada amarra com um pequeno cordão. O primeiro é amarrado a 1 m acima do solo, e os outros oito são amarrados a espaçamentos de 1 m, de modo que o último é amarrado a uma altura de 9 m. Sendo um engenheiro completamente nerd, você nota que para vento em regime permanente, cada balão é soprado pelo vento de forma que parece que os ângulos que os cordões fazem com a vertical são respectivamente em torno de 10°, 20°, 30°, 35°, 40°, 45°, 50°, 60° e 65°. Estime a trace um gráfico do perfil de velocidade do vento para a faixa de 9 m. Considere que o gás hélio está a 20°C e 10 kPa (manométrica), e que cada balão é feito com 3 gramas de látex.

Passo 1

Beleza! Então, para começar esse exercício, vamos escrever a equação para o coeficiente de arrasto:

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

E, sabemos também que a força no balão pode ser escrita como:

F B = ρ g V

Então, vamos aplicar um equilíbrio de forças na direção x , onde temos:

F D - T s e n θ = 0

E, agora, na direção y , onde teremos:

- T c o s θ + F B R - W l á t e x = 0

Beleza, então, vamos precisar das propriedades do ar e do hélio. Então, consultando as tabelas do apêndice A e considerando a pressão atmosférica como 101 kPa, teremos para o hélio:

R H e = 2077   N . m / k g . K

p H e = 111   k P a

T H e = 293   K

E, a densidade do hélio será:

ρ H e = p H e R H e T H e = 111000 2077 ( 293 ) → ρ H e = 0,1824   k g / m 3

Agora, da mesma forma, para o ar, teremos:

R a r = 287   N . m / k g . K

p a r = 101   k P a

T a r = 293   K

E, a densidade do hélio será:

ρ a r = p a r R a r T a r = 101000 287 ( 293 ) → ρ a r = 1,201   k g / m 3

Passo 2

Agora, vamos retornar à equação de equilíbrio de forças na direção y , onde temos:

- T c o s θ + F B R - W l á t e x = 0

Então, sabemos que a força resultando no balão será a diferença entre a densidade do ar e do hélio vezes a gravidade e o volume do balão, de modo que podemos escrever:

F B R = ρ a r - ρ H e g π D 3 6 = 1,201 - 0,1824 9,81 π 0,2 3 6

F B R = 0,0418   N

Então, substituindo os valores conhecidos na equação de cima, temos:

- T c o s θ + 0,0418 - 0,003 9,81 = 0 → T c o s θ = 0,01237 → T = 0,01237 cos ⁡ θ

Agora, recorrendo a equação do passo 1 para o equilíbrio de forças na direção x , temos:

F D - T s e n θ = 0

E, substituindo a expressão encontrada para T :

F D - 0,01237 cos ⁡ θ s e n θ = 0 → F D = 0,01237 tg ⁡ θ

Passo 3

Então, o que precisamos fazer agora é analisar os diferentes balões e as forças a que eles estarão sujeitos, então, para o primeiro balão, temos θ = 10 ° , então a equação para a força de arrasto se torna:

F D = 0,01237 tg ⁡ 10 ° → F D = 0,00218   N

Vamos usar o valor de C D = 0,4 da figura apresentada na Figura 9.11, pois é um intervalo de C D praticamente constante com Reynolds, só devemos checar se o valor de Reynolds obtido está dentro dessa faixa, então, teremos:

Então, para C D = 0,4 , da equação escrita no passo 1, temos:

C D = F D 1 2 ρ V 2 A = F D 1 2 ρ V 2 . π D 2 4 → V = 8 F D C D ρ a r π D 2

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

V = 8 ( 0,00218 ) 0,4 1,201 π 0,2 2 → V = 0,54   m / s

Então, para essa velocidade devemos checar o número de Reynolds, para ver se usamos o coeficiente de arrasto correto, que é dado por:

R e = V D ν

Para isso, precisamos pegar o valor de ν no apêndice A, então temos:

ν = 1,5   . 10 - 5   m 2 / s

Então, Reynolds será:

R e = 0,54 0,2 1,5.10 - 5 → R e = 7200

Esse valor está dentro da faixa.

Passo 4

Agora devemos fazer exatamente os mesmos cálculos, só que para os próximos balões, com diferentes ângulos θ , então, para não escrever novamente as mesmas equações, só mudando os valores, vamos resumir aqui os resultados, lembrando que o procedimento é o mesmo feito no passo 3. Então, teremos:

θ = 20   ° → F D = 0,00452   N ; V = 0,77   m / s

θ = 3 0   ° → F D = 0 , 00717   N ; V = 0,97   m / s

θ = 35   ° → F D = 0 , 00870   N ; V = 1,07   m / s

θ = 40   ° → F D = 0 , 01043   N ; V = 1,18   m / s

θ = 45   ° → F D = 0 , 01243   N ; V = 1,28   m / s

θ = 50   ° → F D = 0 , 01481   N ; V = 1,4   m / s

θ = 60   ° → F D = 0 , 0215   N ; V = 1,69   m / s

θ = 65   ° → F D = 0 , 0266   N ; V = 1,88   m / s

Então, com todos os valores de velocidade, podemos traçar o perfil de velocidade pedido no enunciado:

Resposta

θ = 1 0   ° → F D = 0 , 00218   N ; V = 0,54   m / s

θ = 20   ° → F D = 0,00452   N ; V = 0,77   m / s

θ = 30   ° → F D = 0,00717   N ; V = 0,97   m / s

θ = 35   ° → F D = 0,00870   N ; V = 1,07   m / s

θ = 40   ° → F D = 0,01043   N ; V = 1,18   m / s

θ = 45   ° → F D = 0,01243   N ; V = 1,28   m / s

θ = 50   ° → F D = 0,01481   N ; V = 1,4   m / s

θ = 60   ° → F D = 0,0215   N ; V = 1,69   m / s

θ = 65   ° → F D = 0,0266   N ; V = 1,88   m / s

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