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Um cilindro comprido com 30 mm de diâmetro, inicialmente a uma temperatura uniforme de 1000 K, é subitamente resfriado pela imersão em um grande banho de óleo que se encontra a uma temperatura constante de 350 K. As propriedades do cilindro são k = 1,7 W/(m · K), c = 1600 J/(kg· K) e ρ = 400 kg/m3, enquanto o coeficiente convectivo é de 50 W/(m2 ·K).

(a) Calcule o tempo necessário para a superfície do cilindro atingir 500 K.

(b) Calcule e represente o histórico da temperatura da superfície do cilindro ao longo do intervalo 0 ≤ t ≤ 300 s. Se o óleo fosse agitado, fornecendo um coeficiente convectivo de 250 W/(m2 · K), como o histórico da temperatura iria mudar?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Temos um cilindro de 30 mm de diâmetro que é resfriado em um banho de óleo.

Em primeiro lugar, devemos calcular o tempo necessário para a temperatura da superfície atingir T S = 50 0   K   .

Para isso, se a gente supor tempos muito longos ( F o > 0,2 ) podemos modelar a temperatura adimensional na superfície ( r * = R R = 1 ) a partir da equação:

ϴ S * = T S - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) J 0 ( ζ 1 r * )

Sendo   C 1 e ζ 1 coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, F o o adimensional Número de Fourier, T S a temperatura na superfície do bastão, T i a temperatura inicial e T ∞ a temperatura do ar.

Depois, no final da questão, devemos colocar a temperatura da superfície do cilindro em função do tempo para dois valores de coeficiente de convecção h .

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 1000   K ,   T ∞ =   3 50   K   e   T S = 5 00   K R = 3 0   m m 2 = 15   m m = 0,015   m   k = 1,7 W m . K , ρ   = 400 k g m 3 , c   =   1600 J k g   ·   K         α   =   k ρ c = 2,66   x 10 - 6 m 2 s h   =   5 0 W m ²   ·   K

Passo 2

Primeiro, devemos calcular o número de Biot para o problema:

B i =   h R k =     50 W m ²   ·   K 0,015   m       1,7 W m . K ≅   0,44  

Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de   C 1 e ζ 1 parao cilindro. Como não temos   B i = 0,44     , devemos fazer uma interpolação entre B i = 0 , 4 e B i = 0 , 5 :

B i   = 0,4   →   ζ 1 = 0,8516     C 1 =     1,0932

B i   = 0 , 5 →   ζ 1 = 0,9408         C 1 = 1,1143

Portanto, interpolando:

B i   = 0,44 →   ζ 1 = 0,8873     C 1 = 1 , 1016

Vamos deixar o número de Fourier em função de t :

F o = α t R ² =   2,66   x 10 - 6 m 2 s t ( 0,015   m ) ² = 0,011 8 t

Vamos substituir os valores que encontramos na equação que deduzimos no Passo 1:

ϴ S * = 1,1016 exp ⁡ - 0,8873 2 0,0118 t J 0 ( 0,8873 ( 1 ) ) = ( 1,1016 ) exp ⁡ - 0,00929 t J 0 ( 0,8873 )

A função J 0 é a Função de Bessel de Ordem Zero, na Tabela B.4 (página 652). Como não temos J 0 0,8873 , vamos interpolar os valores de J 0 0,8 e J 0 0,9 :

  J 0 0 , 8 = 0,8463 J 0 0,9 = 0,8075 → J 0 0,8873 = 0 , 8124

Portanto:

ϴ S * = ( 1,1016 ) exp ⁡ - 0,00929 t 0,812 4 = ( 0,8949 ) exp ⁡ - 0,00929 t

Além disso, devemos lembrar que:

ϴ S * = T S - T ∞ T i - T ∞ =   5 00   K - 350   K 1000   K - 350   K = 0,2308

Igualando os dois resultados:

( 0,8949 ) exp ⁡ - 0,00929 t =   0,2308   → exp ⁡ - 0,00929 t = 0,2579

Vamos aplicar l n em ambos os lados da equação:

l n ⁡ ( exp ⁡ - 0,00929 t =   l n ⁡ ( 0,2579 5 ) → - 0,00929 t = - 1,3552   → t = 145,88   s

Vamo agora calcular o número de Fourier pra confirmar que nossa suposição de tempos longos tá certa:

F o = 0,0118 145,88   s = 1,72 > 0,2

Logo, nossa suposição estava certa :)

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamos resolver a letra (b).

Devemos encontrar expressões para temperatura ao longo do tempo para cada uma das seguintes condições de coeficiente de convecção h :

  • Para h = 5 0 W m 2 . K
  • T S - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) J 0 ( ζ 1 r * )

    → T S ( t ) = 350 + ( 1000 - 3 50 ) ( 1,1016 ) exp ⁡ - 0,00929 t 0,8124 )

    → T S t = 350 + ( 581,71 ) e x p ⁡ ( - 0,00929 t )

  • Para h = 25 0 W m 2 . K

Vamos calcular o número de Biot:

B i =   h R k =     2 50 W m ²   ·   K 0,015   m       1,7 W m . K ≅   2,20  

Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de   C 1 e ζ 1 parao cilindro. Como não temos   B i = 2,20       , devemos fazer uma interpolação entre B i = 2,0 e B i = 3,0 :

B i   = 2,0   →   ζ 1 = 1,5994     C 1 =       1,3384

B i   = 3,0 →   ζ 1 = 1,7887           C 1 = 1,1143

Portanto, interpolando:

B i   = 2,20 →   ζ 1 = 1,6373     C 1 = 1 , 3545

Agora, vamos encontrar T S ( t ) :

T S ( t ) = 350 + ( 1000 - 350 ) ( 1,3545 ) exp ⁡ - 1,6373 ² 0,0118 t J 0 ( 1,6373 ) )

A função J 0 é a Função de Bessel de Ordem Zero, na Tabela B.4 (página 652). Como não temos J 0 1,6373 , vamos interpolar os valores de J 0 1,6 e J 0 1,7 :

  J 0 1,6 = 0,4554 J 0 1,7 = 0,3980   → J 0 1,6373 = 0 , 4340

Sendo assim:

T S ( t ) = 350 + ( 1000 - 350 ) ( 1,3545 ) exp ⁡ - 1,6373 ² 0,0118 t ( 0,4340 )

→ T S t = 350 + ( 382,10 ) e x p ⁡ ( - 0,0 32 t )

Agora, pra matar de vez essa questão vamos agora traçar o gráfico de temperatura por tempo (de 0 a 300 s) com ajuda do Excel:

Como podemos ver, quanto maior o coeficiente h , menor é a resistência a transferência de calor e mais rápido a temperatura da superfície vai entrando em equilíbrio com a temperatura do óleo.

Fechou? ;)

Resposta

(a) O tempo necessário para a temperatura da superfície atingir uma temperatura de 500 K é t = 145,88   s .

(b)

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