Enunciado

Para o cilindro semicircular CDE no Exemplo 2.9, encontre a força hidrostática vertical integrando o componente vertical da pressão sobre a superfície de θ = 0 até θ = π .

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada no esquema abaixo.

Algumas considerações devem ser feitas antes de começarmos a resolver a questão: em primeiro lugar, chamaremos a distância do ponto A (superfície livre) ao C de h .

Além disso, o ângulo θ ao qual o enunciado se refere será como chamaremos o ângulo entre o raio R   e o eixo vertical do nosso sistema analisado.

A partir dessas considerações, iremos calcular a componente vertical da força hidrostática ( F V ) a partir da integração da componente vertical da pressão P agindo no sistema.

Em primeiro lugar, devemos definir a componente vertical da pressão P   a partir de uma simples relação trigonométrica ao olhar a figura. Sendo assim, temos que:

P V =     P cos ⁡ θ    

Além disso, devemos também definir a profundidade d do sistema analisado.

Logo de cara, conseguimos ver que a distância h permanece constante, mas também há uma variação na profundidade com relação ao ângulo θ .

Para entendermos essa variação, vamos pensar em um sistema de coordenadas polares. Se temos definido o ângulo que o sistema faz com determinada componente do sistema de coordenadas e o raio, teremos então o comprimento desta coordenada. Como na imagem abaixo:

Por exemplo, na figura abaixo sabemos que y = r cos ⁡ θ .

Pereba que também podemos aplicar essa lógica à nossa figura, com a profundidade variando com θ de forma que:

  d = h + R ( 1 - cos ⁡ θ )

Então, perceba que h é uma distância fixa no nosso sistema e que somamos mais distância à profundidade à medida que o ângulo aumenta.

No próximo passo, iremos montar a integral e calcular o valor de F V .

Passo 2

Para resolver a questão, faremos como o enunciado pede e iremos calcular F V como uma integral de P V :

F V =   ∫ P V d A =   ∫ P cos ⁡ θ   d A

Devemos lembrar que a pressão local é calculada pelo peso da água ( γ ) vezes a profundidade ( d ).

Além disso, d A , a unidade infinitesimal de área, pode ser reescrita como b R d θ , sendo b a largura da estrutura no sentido do papel.

Sendo assim, obtemos:

F V = ∫ 0 π γ [ h + R 1 - cos ⁡ θ cos ⁡ θ   b R d θ

F V = γ b R h + R ∫ 0 π cos ⁡ θ d θ - γ b R ² ∫ 0 π cos ² ⁡ θ d θ

F V = 0 - γ b R 2 π 2

Note que o sinal está negativo porque a força aponta para baixo.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A componente vertical da força hidrostática agindo nessa superfície é F V = - γ b R 2 π 2

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