Enunciado

Uma barragem de concreto (d = 2,5) é construída na forma de um triângulo isósceles, como na Figura P2.80. Analise essa geometria para encontrar o intervalo de ângulos θ para o qual a força hidrostática tenderá a virar a barragem no ponto B. A largura da barragem é b.

Passo 1

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A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.5 do livro, chamada “Forças sobre superfícies planas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada no esquema abaixo.

Algumas considerações devem ser feitas antes de começarmos a resolver a questão. Em primeiro lugar, temos duas forças agindo nessa barragem: a força hidrostática F e a força peso W   da própria estrutura.

Além disso, o ângulo θ ao qual o enunciado se refere será como chamaremos o ângulo de inclinação da barragem, L o comprimento do lado inclinado e l a base da barragem.

A partir dessas considerações, iremos encontrar o intervalo de ângulos θ que fará a barrage virar no ponto B .

Em primeiro lugar, devemos definir L e l a partir de simples relações trigonométricas ao olhar a figura. Sendo assim, temos que:

L =   h sen ⁡ θ    

l =   h tg ⁡ θ

Da mesma fora, devemos também definir o braço de alavanca da força W e da força F . A primeira pode ser definida simplesmente como l , ao olharmos a figura. Já a segunda, podemos definir também com base e relações geométricas como L 3 - 2 l cos ⁡ θ .

Por fim, devemos formular expressões para as forças envolvidas no problema.

Para a força F :

F V =   γ V á g u a

Sendo γ o peso específico da água e V á g u a o volume da água pra geometria da barragem, que é um triângulo retângulo. Portanto:

F V = γ h × l 2 b = γ h 2 h sen ⁡ θ b

Já para a força W :

W = d   γ V b a r r a g e m

Sendo d = 2,5 a densidade do concreto e V b a r r a g e m o volume da barragem.

Logo:

W = 2,5   γ h h tg ⁡ θ b

No próximo passo, iremos montar um balanço de momento e calcular o intervalo de ângulos θ .

Passo 2

Para resolver a questão, devemos montar um balanço de momento com relação a ponto B . Temos, pela figura, que o momento causado pela força F rotacionaria B em um sentido horário, enquanto W rotacionaria em um sentido anti-horário.

Desta forma, o balanço de momento é:

∑ M B = F   L 3 - 2 l cos ⁡ θ - W l = γ h 2 h sen ⁡ θ b   h 3 sen ⁡ θ - 2 h tg ⁡ θ cos ⁡ θ - 2,5   γ h h tg ⁡ θ b h tg ⁡ θ

Nós queremos encontrar o ângulo crítico acima do qual a barragem irá se mover no ponto B . Isso quer dizer que, para encontrar esse ângulo, os momentos precisa estar em equilíbrio e ∑ M B = 0 . Portanto, ficamos com a equação:

1 2 sen ⁡ θ   1 3 sen ⁡ θ - 2 1 tg ⁡ θ cos ⁡ θ - 2,5   1 tg ⁡ θ 1 tg ⁡ θ = 0

Resolvendo numericamente, temos que θ = 77,4 ° . Ou seja, para ângulos maiores que 77,4 ° a força hidrostática tenderá a virar a barragem no ponto B

Resposta

Para θ > 77,4 ° , a força hidrostática tenderá a virar a barragem no ponto B.

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