Enunciado

O clássico escoamento de Poiseuille (Eq. 8.12) mostra a condição de não deslizamento na parede. Se o fluido é um gás, e quando o livre caminho médio l (distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula) é comparável ao comprimento de escala L do escoamento, então ocorrerá deslizamento na parede, de modo que a vazão e a velocidade serão aumentadas para um dado gradiente de pressão. Na Eq. 8.11, c1 ainda será zero, c2 deverá satisfazer a condição de deslizamento u = l ∂u/∂r em r = R. Deduza o perfil de velocidade e da vazão do gás em um microtubo ou nanotubo onde há deslizamento na parede. Calcule a vazão para R = 10 m, μ = 1,84 × 10 −5 N · s/m2 , l = 68 nm e −∂p/∂x = 1,0 × 10 6 Pa/m.

Passo 1

Sabendo que a equação 8.11 é:

u = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + c 1 μ ln ⁡ r + c 2

Como c1 é zero, precisamos determinar apenas c2 para a condição quando r=R e u = l ∂ u ∂ r :

Portanto:

l ∂ u ∂ r = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + c 2

c 2 = l ∂ u ∂ r - r 2 4 μ ∂ p ∂ x

c 2 = R 2 4 μ ∂ p ∂ x 2 l R - 1

Substituindo, temos:

u = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + R 2 4 μ ∂ p ∂ x 2 l R - 1

Simplificando, encontramos o perfil de velocidade:

u = - 1 4 μ ∂ p ∂ x R 2 - r 2 + 2 l R

Passo 2

Sabendo que a vazão é:

Q = ∫ 0 R u 2 π r d r

Integrando temos:

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 + 4 l R

Substituindo os valores dados no enunciado, temos:

Q = - π 10 X 10 - 6 4 8.1,84 X 10 - 5 ( - 1,0 X 10 6 ) 1 + 4 68 X 10 - 9 10 X 10 - 6

Portando, a vazão é:

Q = 2,19 X 10 - 10 m 3 / s

Resposta

u = - 1 4 μ ∂ p ∂ x R 2 - r 2 + 2 l R     ;       Q = 2,19 X 10 - 10 m 3 / s

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