Enunciado

A componente x da velocidade em um campo de escoamento bidimensional, incompressível, é dada por u = A x y , as coordenadas são medidas em metros e A = 2   m - 1 . s - 1 . Não há componente ou variação de velocidade na direção z . Calcule a aceleração de uma partícula fluida nos pontos x , y = 2,1 . Estime o raio de curvatura da linha de corrente que passa por este ponto. Trace um gráfico da linha de corrente e mostre os vetores velocidade e aceleração. (Considere a forma mais simples da componente da velocidade em y .)

Passo 1

Tá legal! Sabemos que para um escoamento incompressível bidimensional, temos a seguinte relação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 → ∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

Então, substituindo a expressão dada para u no enunciado, temos:

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x A x y → ∂ v ∂ y = - A y

Integrando dos dois lados em y , temos:

v = ∫ - A y d y → v = - A y 2 2 + f ( x )

Então, como o enunciado nos sugeriu para considerar a forma mais simples da componente da velocidade em y , então, faremos:

f x = 0 → v = - A y 2 2

Dessa forma, o vetor velocidade será:

V → = A x y i → - A y 2 2 j →

Passo 2

Agora, para encontrar a aceleração de uma partícula desse escoamento, temos:

a → = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Então, substituindo o vetor velocidade encontrado no passo 1, temos:

a → = A x y ∂ ∂ x A x y i → - A y 2 2 j → - A y 2 2 ∂ ∂ y A x y i → - A y 2 2 j →

a → = A x y A y i → - 0 j → - A y 2 2 A x i → - A y j → → a → = A 2 x y 2 2 i → + A 2 y 3 2 j →

Passo 3

Agora, calculando a velocidade e a aceleração no ponto de interesse (2;1), temos:

V → 2 ; 1 = 2 ( 2 ) ( 1 ) i → - 2 1 2 2 j → → V → ( 2 ; 1 ) = 4 i → - j →

a → 2 ; 1 = 2 2 ( 2 ) 1 2 2 i → + 2 2 1 3 2 j → → a → 2 ; 1 = 4 i → + 2 j →

Passo 4

Agora, para encontrar o raio de curvatura da linha de corrente, precisamos do valor da aceleração normal e do módulo da velocidade. Então, o vetor normal unitário ao escoamento será:

e → n = e → t × k →

Então, precisamos também do vetor unitário tangencial, que será dado por:

e → t = V → V → = 4 i → - j → 4 2 + - 1 2 → e → t = 0,970 i → - 0,242 j →

Então, o vetor normal será:

e → n = 0,970 i → - 0,242 j → × k → → e → n = - 0,242 i → - 0,970 j →

Então, agora, sabemos que a aceleração normal pode ser escrita como:

a n = a →   . e → n = 4 i → + 2 j → . - 0,242 i → - 0,970 j → → a n = - 0,968 - 1,94

a n = - 2,908   m / s

E, como sabemos que a componente normal da aceleração é dada por:

a n = - V 2 R

Conseguimos encontrar o raio de curvatura substituindo os valores conhecidos:

- 2,908 = - 4 2 + - 1 2 2 R → R = 5,846   m

Passo 5

Agora, para desenhar a linha de corrente, precisamos da sua equação, então, para isso sabemos que a inclinação da linha de corrente é dada por:

d y d x = v u

Substituindo os valores de v e u , temos:

d y d x = - A y 2 2 A x y → d y d x = - y 2 x → 2 d y y + d x x = 0

Então, integrando essa expressão, temos:

2 ln ⁡ y + ln ⁡ x = ln ⁡ c

Pela propriedade dos logarítmos, podemos escrever:

ln ⁡ y 2 + ln ⁡ x = ln ⁡ c → ln ⁡ y 2 x = ln ⁡ c

Aplicando a exponencial dos dois lados para remover o logarítmo, temos:

y 2 x = c

Então, para o ponto (2,1), a constante c será:

1 2 ( 2 ) = c → c = 2

E a equação da linha de corrente será:

y 2 x = 2

Plotando essa curva, temos:

Resposta

a → 2 ; 1 = 4 i → + 2 j →

R = 5,846   m

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