Enunciado

A comporta retangular mostrada na figura abrese automaticamente, quando o nível da água no seu lado esquerdo atinge uma determinada altura. A que profundidade acima da articulação isto acontece? Despreze a massa da comporta.

Passo 1

Nesse problema temos um portão com geometria retangular e deve-se encontrar a profundidade para o portão abrir.

Sistematizando o problema, demonstrando as forças que atuam, temos

Assim as equações a serem tomadas como base são:

d p d h = ρ g , referente a pressão hidrostática ( y é positivo para baixo)

∑ M z = 0 , o somatório do momento na direção z

F R = p c A , força hidrostática

y ' = y c + I x x A   y c , a localização da linha de ação

I x x = b   D 3 12

E, por fim, fazemos algumas considerações: Fluido estático; densidade constante; pressão atmosférica do outro lado; sem atrito na dobradiça.

Passo 2

Para fluido incompressível p   =   ρ g h , em que p é a pressão manométrica a altura é medida para baixo.

A força no portão vertical (portão 1) é a mesma que em um retângulo de tamanho h = D e largura w . Logo,

F 1 = p c A           ∴               F 1 = ρ g y c A

          F 1 = ρ g y c D 2 D w               ∴               F 1 = ρ g w D 2 2

A localização da linha de ação,

y ' = y c + I x x A   y c               ∴           y ' = D 2 + w D 3 12 × 1 w   D × 2 D = 2 3 D

A força no portão horizontal (portão 2) é devida à pressão constante e está no centroide.

F 2 = ρ g D w L

Calculando o momento sobre a dobradiça, temos

∑ M z = - F 1 D - y ' + F 2 L 2

Agora, substituímos

∑ M z = - F 1 D - 2 3 D + F 2 L 2

F 1 D 3   = ρ g w D 2 2 × D 3 = F 2 L 2 = ρ g D w L L 2

ρ g w D 3 6 = ρ g D w L 2 2

Assim,

D = 3 L         ∴     D = 3 × 1 , 5   m           ∴           D = 2,6   m

Resposta

D = 2,6   m

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